[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 (1002ﾚｽ)
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440: 2024/09/23(月)08:53 ID:w/QxknnI(3/11) AAS
>>434 タイポ訂正
金田康正 東工大が有名でした。
↓
金田康正 東大が有名でした。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
金田 康正（かなだ やすまさ、1949年 - 2020年2月11日[1]）は、日本の計算機科学者。東京大学名誉教授。兵庫県揖保郡（現・たつの市）出身。
1981年より円周率の研究を始め、計算の世界記録を次々と更新していることで知られる。金田が開発した円周率計算ソフト「スーパーπ」はWindows等にも移植され、ベンチマークソフトとしても広く使われている。
441: 2024/09/23(月)09:07 ID:9YgWFQgd(2/8) AAS
円理の研究における初期の課題の一つは、円周率のよい近似を与える分数を求めることでした。
関は正$2^{15}, 2^{16},2^{17}$角形の周長の計算を行い、その計算結果をもとにして
$355/113$を導きました\footnote{詳しくは[1]などを参照.}。この方法を建部兄弟が効率化することにより円理が進展しました。まず、円に内接する正$2^n$角形の周長$\sigma_n$についてですが、$2^{17}$までの計算結果から一定の正確さでその先の結果を推定できます。具体的には、関は$\sigma_n$の階差数列を用いた式\begin{equation}\frac{(\sigma_{16}-\sigma_{15})(\sigma_{17}-\sigma_{16})}{(\sigma_{16}-\sigma_{15})-(\sigma_{17}-\sigma_{16})}\end{equation}を用いて$\pi=3.1415926535\cdots$を得ました。ちなみにこれは今日エイトキン\footnote{A. C. Aitken, 1895-1967. ニュージーランドの数学者.}法と呼ばれるものと同等です。一方、賢弘の方法は今日リチャードソン\footnote{L. F. Richardson, 1881-1953. 英国の数学者.}補外(cf. [2])と呼ばれるものに相当します。賢明はこの周長を分数に直すのに連分数\footnote{正の無理数$x$に対しその整数部分を$[x]$とするとき、$x$を近似する有理数を整数列$[x], \left[\frac{1}{x-[x]}\right], \dots$を用いて表したもの. 黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$が$1/(1+1/(1+1/\cdots))$であることは有名.}を用いました。
442: 2024/09/23(月)09:08 ID:EMp9IBdY(2/9) AAS
>>439
（円周率の実効的な定義と計算方法）
>そこ、円の内接多角形と外接多角形を使う アルキメデスの方法
>内接多角形の周長＜ 円の周長 ＜外接多角形の周長
>を仮定して、円の周長を求める方法だよね
もちろん、半角の公式が分かればそれでできる
ただ、半角の公式、そして、平方根の使用、は、実は本質的でない
(1+i/n)^mの実部が、いつ負となるか、
そのとき、比m/nがどうなっているか、を見よ
なお、実部の正負だけ見ればいいから、絶対値は無視していい
省4
443(1): 2024/09/23(月)10:41 ID:w/QxknnI(4/11) AAS
>>396-397 もどる
>「(三角関数の)加法定理の証明」という
>教科書に書いてある超絶基本的な証明問題が
>東京大学で出題されましたが、
>東京大学の受験生は「合格者も含めて」ボロボロ
ご参考
外部ﾘﾝｸ:waka-blog.com
数学メモランダム
伝説の数学入試問題】加法定理を証明せよ。（東大・1999）2022.02.13
問題
省19
444(1): 2024/09/23(月)10:50 ID:9YgWFQgd(3/8) AAS
入試問題は若者が耐え忍ぶべき
negative messagesの一例に過ぎない
445: 2024/09/23(月)10:55 ID:EMp9IBdY(3/9) AAS
１は口を開けば
オイラーの公式がーとかいうが
オイラーの公式の証明は知らない
446(1): 2024/09/23(月)10:59 ID:9YgWFQgd(4/8) AAS
本当は証明にそんなにこだわる必要はないのだが
447(2): 2024/09/23(月)11:00 ID:w/QxknnI(5/11) AAS
>>443 追加
ja.wikipedia 加法定理から、en.wikipediaへ飛ぶと
”e^(x + y) = e^x ・ e^y”で、説明していますね （＾＾；
なお KIT数学ナビゲーション 金沢工大
「実際には， e^(z1+z2)=e^z1^・e^z2
が成り立つことを証明するのに加法定理を使っているので加法定理の証明にはならない」
とありますが、指数関数e^xを 複素数へ拡張してe^zを別に（加法定理を使わないで）証明＊）すれば
その証明は、ありです（注＊）例えば、べき級数展開を使う証明）
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95%E5%AE%9A%E7%90%86
省24
448: 2024/09/23(月)11:00 ID:EMp9IBdY(4/9) AAS
証明とは、前提から結論を導くことである
素人は何が前提か意識せず、ただもっともらしいことに結び付ければいいと思ってる
それは論理というものが全然分かってない証拠である
残念なことに大卒でも論理が全然分かってないエテ公がたくさんいる
もちろん人は所詮エテ公であるが、大学出たというのであれば
論理が分かっている程度には脱エテ公してもらいたいものだ
（それが人類にとっていかほど意味があるかはおいておくとしてｗ）
449(1): 2024/09/23(月)11:11 ID:9YgWFQgd(5/8) AAS
>実際には，
>e^(z1+z2)=e^z1^・e^z2
>が成り立つことを証明するのに加法定理を使っているので加法定理の証明にはならない．
加法定理を使わない証明もある
450(2): 2024/09/23(月)11:14 ID:9YgWFQgd(6/8) AAS
「定義はこうでなければいけない」というこだわりが
場合によっては害悪をもたらす
451: 2024/09/23(月)11:15 ID:EMp9IBdY(5/9) AAS
>>447
>ja.wikipedia 加法定理から、en.wikipediaへ飛ぶと
>”e^(x + y) = e^x ・ e^y”で、説明していますね
君、英語読んだ？ 式だけ見て脊髄反射で書いたでしょ
”In mathematics, an addition theorem is a formula such as that for the exponential function:
e^(x + y) = e^x · e^y,”
「数学において、加法定理とは、指数関数に対する次のような公式のことである。
e^(x + y) = e^x · e^y、」
e^xの、xが実数として、eのx乗とするのであれば、上記はもはや定理でなく定義である
しかし、e^xを冪級数として定義するのであれば、上記は冪級数の計算で証明すべき定理である
省6
452: 2024/09/23(月)11:16 ID:EMp9IBdY(6/9) AAS
>>449
>加法定理を使わない証明もある
然り
453: 2024/09/23(月)11:16 ID:w/QxknnI(6/11) AAS
>>444
>入試問題は若者が耐え忍ぶべき
>negative messagesの一例に過ぎない
negative messages でもあり
positive messages でもあり
ですね
医者になりたい→医学部から医者の資格を
法律家になりたい→法学部から法律家の資格を
>本当は証明にそんなにこだわる必要はないのだが
「伝説の数学入試問題】加法定理を証明せよ。（東大・1999）」で
省4
454: 2024/09/23(月)11:19 ID:EMp9IBdY(7/9) AAS
>>450
>「定義はこうでなければいけない」というこだわりが場合によっては害悪をもたらす
これまた然り
数学では実にしばしば定義を乗り換える
しかし、そのときに気を付けなければならないのは
定義の乗り換えによって何をどう証明するかが変わるということ
論理が分かっていればそんなことは明らかだが
455(1): 2024/09/23(月)11:20 ID:w/QxknnI(7/11) AAS
>>446
(引用開始)
証明とは、前提から結論を導くことである
素人は何が前提か意識せず、ただもっともらしいことに結び付ければいいと思ってる
それは論理というものが全然分かってない証拠である
残念なことに大卒でも論理が全然分かってないエテ公がたくさんいる
もちろん人は所詮エテ公であるが、大学出たというのであれば
論理が分かっている程度には脱エテ公してもらいたいものだ
（それが人類にとっていかほど意味があるかはおいておくとしてｗ）
(引用終り)
省3
456: 2024/09/23(月)11:22 ID:EMp9IBdY(8/9) AAS
>加法定理を証明せよ。（東大・1999）
この証明が大学数学で必須かといえば、要らない
高校では数学を理論として学んでないから、仕方ない
小学生に掛け算の分配法則や交換法則を証明しろとか言わないのと同じ
457: 2024/09/23(月)11:22 ID:w/QxknnI(8/11) AAS
>>450
>「定義はこうでなければいけない」というこだわりが
>場合によっては害悪をもたらす
そうそう
それは至言ですね
プロ数学者でないと言えない一言ですね
458: 2024/09/23(月)11:25 ID:EMp9IBdY(9/9) AAS
>>455
>箱入り無数目の確率99/100は、確率測度の裏付けないよ！
君が考えるような裏付けは要らない 証明には使わないから
確率測度の裏付けはある ただ確率空間は君が考えてるものとは全然違うけどな
だって{1,…,100}だから
459: 2024/09/23(月)18:00 ID:w/QxknnI(9/11) AAS
>>447
>KIT数学ナビゲーション 金沢工大
>ベクトルを用いた加法定理の証明
"ベクトルを用いた加法定理の証明"
その先に、複素数を 複素平面上のベクトルとみて、極形式を使うと
二つの複素数の積を、複素平面上のベクトルの拡大と回転とみることができる
その先に、四元数による三次元空間の回転の扱いがある
(参考)
manabitimes.jp/math/875
高校数学の美しい物語
省42
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