[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11 (1002ﾚｽ)
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852(1): 12/30(月)08:01 ID:qdfGas+m(1/8) AAS
>>847-851
ID:UCW3fghKは、御大か
朝の巡回、ご苦労さまです
下記を見ると、微分同相の数学は長い歴史があるわけで
エキゾチック R4 に辿り着くまで、半世紀くらい
その間、これでフィールズ賞を取った人が何人かいる
素人がちょっと考えたくらいで想像できるものではないことが、よく分りました
”C^2にも Exoticな（通常と非微分同相な）微分可能構造が入るか？”>>843
下記＋複素多様体が、必要か
エキゾチック R4が、全てC^2で実現できるとは思えないが、幾つかは実現できるかな
省17
853: 12/30(月)08:01 ID:qdfGas+m(2/8) AAS
つづき
Remark 2. （微分可能関数に対して）各点での微分
Dfx:TxU→Tf(x)V
は線型写像であるから well defined な逆関数を持つことと Dfx が全単射であることは同値である。Dfx の行列表現は i-行目と j-列目の成分が
∂fi/∂xj であるような一階偏微分の n × n 行列である。しばしばこのいわゆるヤコビ行列を明示的な計算に対して使う。
Remark 3. 微分同相写像は同じ次元の多様体間でなければならない。
Remark 4. Dfx が x において全単射であれば f は局所微分同相写像 (local diffeomorphism) であるという（なぜならば連続性によって x に十分近いすべての y に対して Dfy もまた全単射になるからである）。
Remark 5. 次元 n から次元 k への滑らかな写像が与えられると、Df (resp. Dfx) が全射であれば、f は沈めこみ (submersion) (resp. 局所沈めこみ (local submersion)) と言い、Df (resp. Dfx) が単射であれば f ははめ込み (immersion) (resp. 局所はめ込み (local immersion)) と言う。
省4
854: 12/30(月)08:03 ID:qdfGas+m(3/8) AAS
つづき
例
略す
微分同相写像の群
略す
微分同相写像の拡張
1926 年、Tibor Radó は単位円の単位円板への任意の同相写像（あるいは微分同相写像）の調和拡大 (harmonic extension) は開円板上の微分同相写像を生むかどうか問うた。エレガントな証明がすぐ後に ヘルムート・クネーザー (Hellmuth Kneser) によって提出され、全く異なる証明がギュスタヴ・ショケ (Gustave Choquet) によって 1945 年に、明らかに定理が既に知られていたことに気付かずに、発見された。
円の（向きを保つ）微分同相写像群は弧状連結である。
高次元の球面 Sn−1 の微分同相写像に対する対応する拡張問題はルネ・トム (René Thom)、ジョン・ミルナー (John Milnor)、スティーヴン・スメイル (Stephen Smale) の顕著な貢献とともに 1950 年代と 1960 年代に多く研究された。そのような拡張の障害は有限アーベル群 Γn 、"group of twisted spheres" によって与えられる。これは微分同相写像群のアーベル component group の、球 Bn の微分同相写像に拡張する類の部分群による商として定義される。
省5
855: 12/30(月)08:03 ID:qdfGas+m(4/8) AAS
つづき
ホモトピー型
略す
同相写像と微分同相写像
微分同相写像でない同相写像を見つけるのは容易だが、微分同相でない同相多様体の対を見つけることはより難しい。次元 1, 2, 3 において、同相で滑らかな多様体の任意の対は微分同相である。次元 4 かまたはそれより上において、同相だが微分同相でない対の例が見つかっている。最初のそのような例はジョン・ミルナー (John Milnor) によって 7 次元において構成された。彼は標準的な 7 次元球面に同相だが微分同相ではない（今ではミルナー球面（英語版）と呼ばれる）滑らかな 7 次元多様体を構成した。実は 7 次元球面に同相な多様体の向き付けられた微分同相類は 28 存在する（そのそれぞれは 3 次元球面をファイバーとして持つ 4 次元球面上のファイバー束の全空間である。
はるかに極端な現象は4次元多様体に対して起こる： 1980年代初頭、サイモン・ドナルドソン (Simon Donaldson) とマイケル・フリードマン (Michael Freedman) による結果を合わせてエキゾチック R4の発見が導かれた： それぞれが R4 に同相な R4 の開部分集合でどの 2 つも微分同相でないものが非可算個存在し、また、R4 に滑らかに埋め込めない R4 に同相などの 2 つも微分同相でない可微分多様体が非可算個存在する
(引用終り)
以上
856(1): 12/30(月)13:15 ID:qdfGas+m(5/8) AAS
>>852 追加
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
複素多様体
微分幾何学で複素多様体（ふくそたようたい、英: complex manifold）とは、多様体上の各点の開近傍が、
Cn の中の単位開円板への正則な座標変換を持つ多様体のことを言う[注釈 1]。座標変換が正則である場合には、
Cnの中で、コーシー・リーマンの方程式の制約を受ける。
複素多様体という単語は、上の意味での複素多様体のほか、概複素多様体を意味するものとしても使われる(区別が必要なときは、前者を可積分複素多様体と呼ぶ)。
複素多様体の意味
正則函数は実数の上での滑らかな函数よりも強い条件を満たすから、微分可能多様体の理論と複素多様体の理論とでは大きな違いがある。また、コンパクトな複素多様体は、微分可能多様体よりも代数多様体に非常に近い多様体である。
省4
857(1): 12/30(月)14:33 ID:qdfGas+m(6/8) AAS
>>856 追加
複素多様体が、分ってなかったことが、分った ；ｐ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ[html]:www.mathsoc.jp
日本数学会の出版物
「数学」− 電子版へのインターフェース
論説（数論）
大沢健夫
L2評価式とその幾何学への応用 53(2), pp. 157-
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
省6
858: 12/30(月)19:28 ID:qdfGas+m(7/8) AAS
>>857 追加
複素多様体論 辻元先生のPDF が見つかった
これは 成書 別冊数理科学 複素多様体論講義 2012年 サイエンス社の下書きだろうか
”1.1 はじめに”の『これらの古典的な歴史を見て思うのは、物事を１つの側面からだけ見ていたのでは駄目だということである。 物事にはいろいろな側面があり、それらを総合しないと全体像は把握できない。 特に代数多様体の世界のように複雑な世界を探求するにはなお更である』
格調高いね。まさに至言です
(参考)
www5f.biglobe.ne.jp/~inamoto/dream/physics/index.html
稲本 直太
多様体
複素多様体論（辻元氏）(2007/4/18掲載)
省10
859: 12/30(月)19:29 ID:qdfGas+m(8/8) AAS
つづき
これらの古典的な歴史を見て思うのは、物事を１つの側面からだけ見ていたのでは駄目だということである。 物事にはいろいろな側面があり、それらを総合しないと全体像は把握できない。 特に代数多様体の世界のように複雑な世界を探求するにはなお更である。というような訳で、盛り沢山の内容を如何に分かり易く読者に伝えるか、著者なりに気を使った。 是非通読して、複素幾何学の基礎を固めて欲しい。
www.saiensu.co.jp/preview/2020-978-4-7819-9970-8/SDB61_sample.pdf
複素多様体論講義 - サイエンス社 辻 元 2020電子版
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別冊数理科学 複素多様体論講義 2012年 10月号
上位レビュー susumukuni
5つ星のうち4.0 複素幾何を学びたい方に薦められる格好の概説書
2012年11月16日
本書を学ばれる方に、小林昭七『複素幾何』と中野茂男『多変数函数論』を事前に或いは併せて学習される事を強くお薦めしたい
省4
860: 12/31(火)06:34 ID:7a6M3386(1/7) AAS
裳華房が数学選書で「複素多様体論」を出す予定だったが
861(1): 現代数学の守護天使 ◆0t25ybzgvEX5 12/31(火)07:42 ID:ZIBhArJJ(1/18) AAS
＞複素多様体が、分ってなかったことが、分った
多様体なら分かってる、と思ってる時点で自分のレベルがわかってない
君はそもそも実数Rの位相も、ｎ次元実ベクトル空間R^nも分かってないから
それらの上にある実多様体が分かるわけなかろう
862(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 12/31(火)08:43 ID:AlJH/MnG(1/14) AAS
>>680
ID:7a6M3386は、御大か
朝の巡回ご苦労さまです
複素多様体論 辻元先生 下記
格調高いですね。百回音読する価値がありますね （＾＾
＜再録＞
1.1 はじめに
複素多様体論は、難しいと言われる。 実際、複素多様体論は実に広範な知識を必要とする。 可微分多様体論、多変数関数論、微分幾何学、偏微分方程式論、関数解析学、代数幾何学など全てを勉強しようとすると気が遠くなりそうに思う人も多いであろう。しかしながら、実は大半の部分は初等的であり、それ程広範な知識は必要としない。基本的には複素多様体から得られる、有限次元ベクトル空間に、複素多様体の性質を投影させることで大半の定理が得られているのである。つまり、コホモロジー群という多くの学生にとって苦手な対象さえ、自由に使いこなせれば、大半の理論は理解可能である。邪魔なコホモロジーを消したりするには、¯ ∂方程式を解くことになるが、これも、線形代数における連立方程式を無限次元に素直に一般化したものに過ぎない。例えばラプラス作用素が自己随伴であるということは、行列がエルミートであることと同じで、無限次元という鎧を着けているために立派な理論に見えているだけである。
近年の複素解析幾何学の発展により、複素多様体論の性質は、多重劣調和関数の理論や正則領域の理論に見られる凸性に多くの事柄が帰着することを指し示しているように見える。「全ての道はローマに通ず」ではなく、全ての道は擬凸性に通じるのである。実際、多変数関数論の研究は擬凸性の研究から始まったのであって、岡潔のレビ問題の解決(1954)などを見ても、表立ってコホモロジーの概念を使わずに議論がなされて来た。この頃は、積分公式により実質的に¯ ∂方程式を解いていたので、関数解析的な手法も使われていなかった。 それと同じ頃、調和積分論を複素多様体上に一般化する試みが小平邦彦により進められ、調和積分論の整備が始められた。
特に、小平の消滅定理が証明され、代数多様体の特徴付けがなされたのは画期的な事件であった。その後、これら２つの手法は、岡潔の発見した層の理論を通じて１つの物になり、やがてGrothendiekによるスキーム論による代数幾何学の基礎付けが行なわれ、特に特異点を持つ代数多様体やさらには有限体上の代数多様体の研究などが強力に推し進められた。
省4
863: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 12/31(火)08:53 ID:AlJH/MnG(2/14) AAS
>>861
(引用開始)
＞複素多様体が、分ってなかったことが、分った
多様体なら分かってる、と思ってる時点で自分のレベルがわかってない
君はそもそも実数Rの位相も、ｎ次元実ベクトル空間R^nも分かってないから
それらの上にある実多様体が分かるわけなかろう
(引用終り)
ふっふ、ほっほ （＾＾
1）便所板の自称エスパーこと、アホなおサルさんか？ｗ
2）”分る”とは？ 「数学が分る」とは、いろんな段階がある
省6
864: 現代数学の守護天使 ◆0t25ybzgvEX5 12/31(火)09:28 ID:ZIBhArJJ(2/18) AAS
>>862
＞百回音読する価値がありますね
でも理解できないんなら君には無価値
数学は念仏ではない
865: 現代数学の守護天使 ◆0t25ybzgvEX5 12/31(火)09:36 ID:ZIBhArJJ(3/18) AAS
＞数学科をお情け卒業したことが自慢の、その実、数学科3年生からオチコボレさん
自慢したつもりは一度もないが、自慢に聞こえたならそれは
工学部をお情け卒業したことが自慢の、その実、大学１年から数学オチコボレの
君の僻みだな
＞ZFCの理解も怪しいおサルさん 君が分っている程度も、所詮 初心者レベル
実数・連続写像も線型空間・線型写像も理解が怪しい君は高卒レベルだよ
大学数学門前払いか
866: 現代数学の守護天使 ◆0t25ybzgvEX5 12/31(火)09:39 ID:ZIBhArJJ(4/18) AAS
現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP のレベルは高卒 軍隊でいえば兵隊
大学３年失格でも大学２年修了相当なら 軍隊で言えば下士官 やっぱ違うな
867(2): 12/31(火)09:54 ID:7a6M3386(2/7) AAS
＞ ZFCの理解も怪しいおサルさん 君が分っている程度も、所詮 初心者レベル
ZFCの理解が怪しくても多変数関数論ならできる
868: 12/31(火)10:00 ID:ZIBhArJJ(5/18) AAS
>>867
> ZFCの理解が怪しくても多変数関数論ならできる
多変数関数論ができても「箱入り無数目」がわかるとは限らない
選択公理以は高校レベルの数学しか使わないのだが
869(1): 12/31(火)10:10 ID:7a6M3386(3/7) AAS
>多変数関数論ができても「箱入り無数目」がわかるとは限らない
「高校生でもわかる箱入り無数目」がわからなくても
多変数関数論はできる
870(1): 現代数学の守護天使 ◆0t25ybzgvEX5 12/31(火)10:34 ID:ZIBhArJJ(6/18) AAS
>>869
はいはい、お爺ちゃん
871(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 12/31(火)10:49 ID:AlJH/MnG(3/14) AAS
>>867
>＞ ZFCの理解も怪しいおサルさん 君が分っている程度も、所詮 初心者レベル
>ZFCの理解が怪しくても多変数関数論ならできる
ID:7a6M3386は、御大か
ご苦労さまです
ZFCのスレでも議論しましたが、ZFCはあくまで数学の基礎で地下部分
ZFCの中で、地上の普通の数学をやろうという人はいません
不自由すぎる
ZFCで地上に飛び出してきた唯一が、選択公理ですね
それ以外で、順序数などは カントールの時代ですね
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