ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

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955: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/02(木) 08:06:58.85 ID:Zl89R8aT

>>952-954
(引用開始)
>suc(a) := {a} と定義したならば
前者が後者に属すという定義なんだから
>{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
となるのはまったく当たり前で、それがなんだと言ってるの？　まったく意味不明
(引用終り)

ふっふ、ほっほ

1）”suc(a) := {a} と定義したならば”は、忘れて
　いま、{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ 単独で考えたとき
　この {}, {{}}, {{{}}}, {{{{}}}}, ・・・ という列を
　整列順序 {}≤{{}}≤{{{}}}≤{{{{}}}}≤・・・ として解釈可能だということ
　それは、二つの面から裏付けられる
　一つは、整列可能定理（＝選択公理）で、整列可能定理と∈を組み合わせて
　整列順序 {}≤{{}}≤{{{}}}≤{{{{}}}}≤・・・ が得られるということ
　もう一つは、∈ には 正則性公理で 無限降下列が存在しないことが保証されるってこと
2）君の>>900「列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ が、整列していることを否定する
　上記『{}∈{{{}}} は偽』とか、勝手な妄想」
　これは、下記の推移性の面からの批判として一理あるのだが
　しかし、それは ∈→∈’（≤と等価）に書き換えて、改めて ∈’の順序関係として定義し直せば
　あなたの推移性の問題の指摘は、すぐに解消できるのです
　それ 自明でしょ？
　だから、『{}∈{{{}}} は偽』という 推移性の批判は、すぐに解消できる話で
　つまらん ヤクザの因縁だということｗ ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A8%E7%A7%BB%E9%96%A2%E4%BF%82
推移関係（英: Transitive relation）は、数学における二項関係の一種。集合 X の二項関係 R が推移的であるとは、Xの任意の元 a、b、c について、a と b に R が成り立ち、b と c に R が成り立つとき、a と c にも R が成り立つことをいう。推移的関係とも。
一階述語論理でこれを表すと、次のようになる。
∀a,b,c∈X, aRb∧bRc⇒aRc
例
例えば、
x=yでかつ y=z であれば、x=zである。以下は推移関係である。
・x=y（x と y は等しい）
・x<y（x は y より小さい）
・x≤y（x は y 以下である）
・x は で割り切れる
一方、以下は推移関係でない。
・x≠y（x と y は等しくない）
・A は B の母である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/955

963: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/02(木) 19:12:50.26 ID:Zl89R8aT

>>962
>大事な所だけもう一度言う。
>整列定理からは如何なる具体的整列順序も出ない。よって「整列定理を用いて」は大間違い。

整列定理については、下記 尾畑研究室 東北大
整列可能定理を音読してね

その上で、おれも言っておくが

・整列可能定理は、一階述語論理では選択公理と同値と言われる
・つまり、その本質は 整列可能”公理”である
・そもそも公理は、具体的な色がついていない
・具体的な色がついていないから、いろんな場面で万能に使えるってこと
・その上で、具体的な色がついていないけれど、数学者が工夫して 色を付けることを妨げない
・そうでなければ、公理として役に立たない

(参考)>>920より再録
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研究室 東北大
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21
第13章 整列集合
13.1 整列集合
順序集合(X,≦)はすべての空でない部分集合が最小元をもつとき整列集合であるといいそのような順序を整列順序という

13.2整列集合の基本定理
本節では整列集合がつ与えられたときどちらか一方は他方を延長したものであるという基本定理を証明する

13.3 整列可能定理
与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか
直感的には集合の元を1つずつ順に並べればよいわけで
有限集合に対してなら何ら問題なくできる
しかし無限集合に対してはどうだろうか
カントルはできると予想しツェルメロが証明を与えた1)
実際ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いたがここではツォルンの補題を用いて証明しよう2)
定理13.15 (整列可能定理)
任意の集合は適当な順序を定義することで整列集合にできる
証明 Xを任意の集合とする
以下略す

注）
1）カントルは1883年の有名な論文で整列集合の概念を与えてすべての集合を整列集合にできることは原理であり自明なことであると主張した後年になって証明を試みたようであるが成果は得られず連続体仮説とともにカントルの残した集合論の大きな課題となったツェルメロは選択公理を原理として提起してそれを用いて整列可能定理を証明したその議論は大論争を巻き起こしたが情況が明らかになる中でツェルメロは集合の公理を提示するとともに
整列可能定理の別証明を与えた（1908）
2）赤[]にはツェルメロの元証明にしたがった議論が収められている
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/963

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