ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

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794: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/28(土) 08:28:22.48 ID:aD5GuW9/

つづき

www.iwanami.co.jp/book/b265463.html
新装版 複素多様体論 岩波
著者 小平　邦彦
刊行日 2015/01/15
■編集部からのメッセージ
　小平先生は，よく知られているように数学研究者として大きな功績を残されただけでなく，数学教育にも積極的に発言されてきました．「New Math批判」と題して，小社の雑誌『科学』に寄稿された記事（1968年10月号）の中で，初等教育に集合論を導入することの愚を批判されています．また，「原則を忘れた初等・中等教育」と題された記事（1984年1月号）では，国語，数学，社会など各教科が，子どもの発達や関心度を無視して独立にカリキュラムが編成されていることを批判されています．
　前者の記事では，数学者が集合論を基本的でわかりやすい概念だと思うのは，修練を経た結果であって，「物の数を数えるのは集合の１対１対応に基づく」などといっても子どもには無味乾燥だし，しかも本来，無限集合を考えるためにつくられた概念なのだから，子どもに有限集合から集合論を教えても何のために学ぶのか理解できるはずがないと批判します．
　後者では，その昔（戦前），小学校の初年級には国語や算数を徹底的に教え，社会や理科は高学年に教えていた例を引きながら，いたずらに初年級から過密な時間割にして，子どもの理解を中途半端なものにしているのではないか，もう少し総合的な視点から，子どもの習熟度を考慮したカリキュラムを編成するのがよいのでは，と意見を述べています．
　小平先生自身も数学科および物理学科を卒業され，自ずと多角的に対象をとらえる視点を育まれたものと思います．

www.iwanami.co.jp/files/tachiyomi/pdfs/0059660.pdf
＜試し読み pdf＞

目次より、”271-272”は、第5章 存在定理の§5.2 モジュライ数 236〜273 の部分ですね
前書きがあって、その後第1章のp10まで読める
格調高いですね

図書館で借りられるかな？ ；ｐ）
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/794

801: １３２人目の素数さん [] 2024/12/28(土) 09:51:01.65 ID:aD5GuW9/

>>799
>K3曲面の自己同型群の構造への
>複素力学系の理論の応用がある

なるほど
数学が、物理の弦理論で必要とされる数学を先取りして容易していた
K3曲面は、その伝説に また一つエピソードを付け加えたのかも
（一般性相対性理論の数学や、量子力学の数学）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/K3%E6%9B%B2%E9%9D%A2
K3曲面
弦双対性との関係
K3曲面は、弦双対性（英語版）のほとんどの箇所に現れ、重要なツールを提供する。弦のコンパクト化に対して、K3曲面は、自明な空間ではないが、詳細な性質のほぼ全部を解明できる空間である。タイプ IIA 弦、タイプ IIB 弦、E8 × E8 ヘテロ弦、Spin(32)/Z2 ヘテロ弦、および M-理論は、K3曲面上のコンパクト化により関連付けらることができる。例えば、K3曲面上へコンパクト化されたタイプ IIA 弦は、4-トーラス上へコンパクト化されたヘテロ弦に等価である。Aspinwall (1996)

en.wikipedia.org/wiki/K3_surface
K3 surface
Relation to string duality
K3 surfaces appear almost ubiquitously in string duality and provide an important tool for the understanding of it. String compactifications on these surfaces are not trivial, yet they are simple enough to analyze most of their properties in detail. The type IIA string, the type IIB string, the E8×E8 heterotic string, the Spin(32)/Z2 heterotic string, and M-theory are related by compactification on a K3 surface. For example, the Type IIA string compactified on a K3 surface is equivalent to the heterotic string compactified on a 4-torus (Aspinwall (1996)).

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/801

804: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/28(土) 13:59:51.94 ID:aD5GuW9/

>>803
ご苦労さまです
下記ですね

小平先生や中野先生が、K3曲面を物理に応用しようと研究したわけではないだろうが
物理の弦理論で必要とされる数学になっていた>>801
そういうことですね

Ricci flowも、Ricci計量は アインシュタインの一般相対性理論で使われたが
Ricci計量を発展させた Ricci flowが、Perelmanによって4次元ポアンカレ予想の解決に使われ
それが、新しい数学で使われる
そういうことですね

(参考)
link.springer.com/article/10.1007/s12220-024-01665-y
Springer Nature Link
Home  The Journal of Geometric Analysis  Article
Harmonic Spinors in the Ricci Flow
Open access
Published: 16 May 2024
Volume 34, article number 235, (2024)
Cite this article

Abstract
This paper provides a new definition of the Ricci flow on closed manifolds admitting harmonic spinors. It is shown that Perelman’s Ricci flow entropy can be expressed in terms of the energy of harmonic spinors in all dimensions, and in four dimensions, in terms of the energy of Seiberg–Witten monopoles. Consequently, Ricci flow is the gradient flow of these energies. The proof relies on a weighted version of the monopole equations, introduced here. Further, a sharp parabolic Hitchin–Thorpe inequality for simply-connected, spin 4-manifolds is proven. From this, it follows that the normalized Ricci flow on any exotic K3 surface must become singular.

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%81%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%BC
リッチフロー (Ricci flow) とは、微分幾何学における本来の幾何学的フロー(geometric flow)[1]の一つである。
リッチフローは、熱伝導方程式に形式的に似た方法でリーマン多様体の計量の特異点を滑らかに変形する過程である。

グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ(Gregorio Ricci-Curbastro)の名前に因むリッチフローは、最初にリチャード・ハミルトン (Richard Hamilton) により1981年に導入され、リッチ・ハミルトンフロー (Ricci–Hamilton flow) とも呼ばれる。
リッチフローは、最初にグリゴリー・ペレルマン (Grigori Perelman) によりポアンカレ予想の証明のために使われ、同様に、サイモン・ブレンデルとリチャード・シェーンによる微分可能球面定理（英語版）(differentiable sphere theorem) の証明に使われた。

en.wikipedia.org/wiki/Ricci_flow
Ricci flow

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/804

806: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/28(土) 17:22:46.99 ID:aD5GuW9/

>>804 補足
>harmonic spinors

スピノル（英語: spinor）
ディラックの量子力学でお目にかかりました
（ディラックの本にも書いてあった）
『一般のスピノルは、1913年にエリ・カルタン[2]によって発見され』とありますが
ディラックの量子力学では、電子の波動方程式を相対性理論に合うように変形すると
自然にスピン（スピノル）が出てくるという流れで、当時は 1913年のエリ・カルタンの話は
物理屋さんは、だれもご存知無かったみたいです

”The word "spinor" was coined by Paul Ehrenfest in his work on quantum physics.[13]”とあるので
用語 "spinor"は、物理から数学へ逆輸入されたものでしょうか （＾＾

（参考）
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%94%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%AB
スピノール
数学および物理学におけるスピノル（英語: spinor）は、特に直交群の理論に於いて空間ベクトルの概念を拡張する目的で導入された複素ベクトル空間の元である。これらが必要とされるのは、与えられた次元における回転群の全体構造を見るためには余分の次元を必要とするからである
空間の回転などの作用に伴って一定の変換をするが、スピノルの適当な二次形式を用いればベクトルを表すことができるので、ベクトルよりもさらに基本的な量であると言える。もっと形式的に、スピノルは与えられた二次形式付きベクトル空間から、代数的な[注釈 1]あるいは量子化の[注釈 2]手続きを用いることで構成される幾何学的な対象として定義することもできる
一般のスピノルは、1913年にエリ・カルタン[2]によって発見され、後に電子や他のフェルミ粒子の内在する角運動量、即ちスピン角運動量の性質を研究するために、量子力学に適用された。量子力学においてスピノルは、半整数スピンを持つフェルミ粒子の波動関数を記述する際に不可欠な量であり、今日では物理学の様々な分野で用いられている。例を挙げると、古典論では三次元のスピノル（英語版）が非相対論的な電子のスピンを記述する際に、相対論的量子力学ではディラック・スピノルが相対論的な電子の量子状態を数学的に記述する際に、場の量子論では相対論的な多粒子系の状態を記述する際に、それぞれ必須の概念としてスピノルが活用されている
概略
略

en.wikipedia.org/wiki/Spinor
Spinor
History
The most general mathematical form of spinors was discovered by Élie Cartan in 1913.[12] The word "spinor" was coined by Paul Ehrenfest in his work on quantum physics.[13]
Spinors were first applied to mathematical physics by Wolfgang Pauli in 1927, when he introduced his spin matrices.[14] The following year, Paul Dirac discovered the fully relativistic theory of electron spin by showing the connection between spinors and the Lorentz group.[15] By the 1930s, Dirac, Piet Hein and others at the Niels Bohr Institute (then known as the Institute for Theoretical Physics of the University of Copenhagen) created toys such as Tangloids to teach and model the calculus of spinors

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/806

807: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/28(土) 17:48:43.26 ID:aD5GuW9/

>>805

数学科でオチコボレた君へ
”数学科進学をおすすめしないタイプ2選”ｗ ；ｐ）

youtu.be/cN_HevguEvg?t=1
数学科進学をおすすめしないタイプ2選【進路を迷ってる人へ】
人工知能とんすけ
2022/04/26
数学科進学を迷ってる人向けにどういう人が来るべきか来るべきじゃないかを語りました。やる気をそぐ目的は全くなく、純粋に参考にしてもらいたいと思います。数学は大変な学問です。中途半端な気持ちで来て中途半端にしか学習できないと余裕で詰むような学科です。数学への愛の深さが大事になってきます。私は数学科はあまりおすすめしないという先生のアドバイスにも全く聞く耳立てず行きました。もちろん数学科を楽めました。でも、皆がそうかというと、そうでもないのが現実です。仲の良い友達の中で数学科に来てよかったと言ってる人はいません。でも、もし数学が本当に好きなら来てください。大学の数学のテキストを読んでみてわくわくしたのなら来てください。人生においてわくわくは大事です。
ええこといいすぎたか？？？

文字起こし
0:01
コメントが来て数学をやりた奴のやるきをそぐ
なっていうコメントがきた
0:08
それについてちょっと僕が言い
たいことがあるので今回は数学科に来ない
方がいい人こういう人は来ないほうがいい
よっていうことをねやる気をそぐんでは
なくってあの現実を知らせて
0:22
通り抜ける人は全然やっていけるよ
っていう意味も込めて
動画にまとめたので参考にしてください

0:31
まず1つめにふうにちょっと言われた
くらいで数学への愛がなくなってしまう人
は来ない方がいいです　っていうのは数学
っていうのは一人で向かい合う学問なん
ですね研究とかはグループで共同
研究というのははやりですけどやっぱり自分
で考える時間が長くて自分ひとりで大学
入ってもね自分ひとりで教科書と向き合っ
て分らないことを解決してっていう一人の
向かい合う時間が長いんですよ数学のこと
を愛してなかったらそんなにずっと同じ
ことを考れないんですよ どれだけ愛し
てるのかっていう点において人には やめ
ておいたほうがいいよみたいな感じがある
1:12
てそうかなーって悩んでしまうようだっ
たらそんなに愛してないんでねそういう
意味で人にちょっと言われたぐらいでやっ
た辞めた子かな違うほうがいいかなーって
思ってしまうようだったら数学科は辞めた
1:24
ほうがいいです僕は高校の先生全員に聞い
てね数学の先生全員に数学科ってどういう
ところですか行ったほうがいいですか行か
ない方がいいですかって言ったらほとんど
1:34
の先生があまりお勧めはしないって言って
きました
1:42
俺は数学が好きだ誰だから行くって
いうのを決めて言うんです

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/807

808: １３２人目の素数さん [] 2024/12/28(土) 19:42:36.80 ID:aD5GuW9/

>>807 補足

自分のことを書いておくと
”数学科進学をおすすめしないタイプ2選”
の両方当てはまっている

1）「ちょっと言われたくらいで数学への愛がなくなってしまう人」
　高校時代に友人に「数学科ってどうよ」と聞いたら
　「ちょっと数学ができるくらいで、俺たちが数学科へ行っても、せいぜい高校数学教師が関の山」
　と言われて、そうだなと思った
　高校数学教師なら、最初から教育学部の方が良いかも
2）「数学科でやっていく自信もない」も、その通りだった
　受験科目としての数学は好きだったが、とんすけ氏のいう
　「数学への愛」ｗまでは 無かった
　つーか、物理の方がワクワクした
　その物理を支える数学は凄いと思ったし
　いまでも、そう思うよ
　物理への応用を考えた訳ではない数学が
　物理学が進化すると、自然に超高度な数学理論が必要とされるようになるらしい
　あるいは、物理学者が考えた理論が、高度な数学理論と結びついてくるとか（立川裕二、小沢登高）

なので、高校で同級生450人くらい居たけど
数学科へ進学したやつを知らない。聞いたことがない。多分いない
（そもそも、理学部へ進学するのは、ごく少数だった（物理に行ったのがいた）。当時 食える学部ではなかった）

ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AB%8B%E5%B7%9D%E8%A3%95%E4%BA%8C
立川裕二
経歴
灘中学校・高等学校在学中には、国際数学オリンピックの日本代表に2回選出された。
1998年、灘高等学校を卒業後、東京大学理科一類入学、東京大学理学部物理学科卒業
研究　
超弦理論に関する重力理論、数理物理、及び超対称性のある4次元場の理論。AGT対応の発見者。
2018年 国際数学者会議 2018 Rio de Janeiro 招待講演者 (講演非実施)[8]

www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~narutaka/rireki.html
小沢 登高
1993年4月  東京大学理科一類入学
学部時代は一貫してTVゲームとバイトに多忙。
1995年4月  同理学部数学科進学
高校時代に科学雑誌を通して理論物理に興味を覚えたが、 現代数学については完全に無知。 そんなわけで大学入学時は理物に進もうと思っていたが、 線形代数が面白かったので数学に進むことになった。 実は微分方程式が嫌いであるという理由も大きい。
1997年4月  東京大学大学院数理科学研究科修士課程入学
河東先生と泉先生の指導の下、作用素環を学んだ。 ひょんなことからマイナー分野であった作用素空間論の勉強を始める。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/808

824: １３２人目の素数さん [] 2024/12/28(土) 21:58:46.47 ID:aD5GuW9/

>>816
>　>>808 立川裕二、・・、それに山下真由子氏とか
>今は 『自分は”努力”している』なんて、思ってないのでは？
>今は やりたいことを、楽しんでやって結果を出している では！ｗ ；ｐ）

まあ、下記などが参考になるだろう

www.mathsoc.jp/assets/file/publications/tushin/2903/yamashita-tachikawa.pdf
山下真由子さんの令和6年度科学技術分野の文部科学大臣表彰若手科学者賞受賞に寄せて　
東京大学カブリ数物連携宇宙研究機構 立川　裕二

山下真由子さんが『代数トポロジーと量子場の理論の研究』に関して今年度の文部科学大臣表彰若手科学者賞を受賞なさったことに関して，物理側の共同研究者の一人である私から一言コメントを，というお声掛けを『数学通信』の皆様からいただいた．私自身が数学者でないため，山下さんの業績がこれまでの数学の流れの中でどう位置づけされ，どのような発展をもたらしたのか，ということについては申し訳ないながら解説することが出来ない．しかし，このような機会をいただいたのであるから，山下さんの仕事がどのように我々理論物理学者にとって有り難いのかということを皆さんにわかっていただくことは出来るのではないかと思って，この記事の執筆をお引き受けした次第である．また，山下さんは他にもいくつかの賞を受賞しており，複数の受賞記事がこの『数学通信』誌に掲載されているので，説明が重複してしまいがちであるが，なるべく異なる方面からの解説を心がけたいと思う．

さて，場の理論には百年近い歴史があり，実験的結果もよく再現する．しかし，全般的な純粋数学的取り扱いが非常に困難であり，万人の納得する数学的枠組みは未だ無く，種々の部分的側面が定式化されているに留まる．考察する側面に応じて，必要になる数学的分野は異なるが，長らく代数トポロジーはそれほど目立った使われ方をしていなかった．

これらの相の分類に代数トポロジーが有用であろうというのは15年ほど前から明らかになってきた．まず，トポロジカル絶縁体およびトポロジカル超伝導体と呼ばれるクラスの系のとりうる相がそれぞれ複素K理論および実K理論で分類されるということがわかってきた．これら分類が可能であった系には，1. 長距離相関を持たず，かつ，2. 励起をつくるのに系のサイズに寄らないノンゼロの最小エネルギーが必要であるという共通の性質がある．では，1. と2. の性質を持ち，かつ，対称性Gをもつような相を分類することは出来るだろうか．これがG-symmetry protected topological phase (G-SPT 相) の分類問題といって，2010年を過ぎたあたりから物性理論のなかで大きく取り上げられた問題である．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/824

825: １３２人目の素数さん [] 2024/12/28(土) 21:59:04.33 ID:aD5GuW9/

つづき

いろいろな部分的結果が非厳密な物理的考察から得られ，沢山の論文が書かれたが，徐々に，分類結果はK理論に関連するような何らかの一般コホモロジー理論で得られるだろうという共通認識が得られた．これは後に理論素粒子物理を経由して純粋数学側で取り上げられ，数学者Freed とHopkins によって 2016 年に空間 d 次元時間1次元のG-SPT相でフェルミオンを含むものの分類結果は(IZMSpin)d+2(BG) という一般コホモロジーで与えられるという提唱がなされた．ここでMSpinはスピン同境ホモロジーもしくは対応するトム・スペクトラムで，スペクトラムE に対してIZE は常ホモロジーと常コホモロジーの間の普遍係数定理を一般(コ)ホモロジーに拡張するために必要になる双対操作でアンダーソン双対と呼ばれ，BGはGの分類空間である．このFreedとHopkins の主張はユークリッド的で反転正値かつ可逆な場の理論の彼らの数学的に厳密な定式化による考察に基づいてはいるが数学的には厳密な証明ではなく予想に留まるものではある．しかし，理論物理屋の間ではその他の状況証拠からも非常に確からしいと思われている．

この問題をさらに数学的に追究するには色々な方法が考えられる．ひとつは，物性系を統計力学系として作用素環を用いて厳密に数学的に研究することには長い歴史があるので，その枠組みでこれらの相を定式化し，分類を証明しようという方向性である．このプログラムを次々と遂行なさっているのが緒方芳子さんで，その業績に対してごく最近猿橋賞が授与されたのは記憶にあたらしい．緒方さんがポアンカレ賞を受賞なさったときの記事も『数学通信』の第26巻第4号にあるのでそちらをご覧になると良いと思う．

もうひとつの方法は，Freed と Hopkins の立場に近く，系を可逆で反転正値な場の理論として考えることにし，それを数学的に厳密に扱うという方法である．こちらの研究を力強く推し進めているのが山下さんである．例えば，理論物理学者の米倉和也さんとの共著からはじまる一連の論文で，山下さんは，理論物理における可逆相の議論を厳密化することにより，同境ホモロジーのアンダーソン双対およびその微分一般コホモロジー化のモデルを構成した．また，数学者の五味清紀さんとの共著論文で，山下さんは微分KO理論の新たなモデルを構成したのだが，これはトポロジカル超伝導体の理論物理における解析を動機としており，スピン同境ホモロジーのアンダーソン双対との関連も自然に示唆されるような構成になっている．

以上の論文の概要からもおわかりだろうと思うが，山下さんは，純粋数学者としてのトレーニングを受けたはずながら，不思議に我々理論物理屋の言うことを判ってくださる．私の所属する研究所には，幸い数学者と物理屋の双方が多数所属するので，代数トポロジーが必要になりはじめたころから色々と同僚の数学者に質問をしてはいたものの，まずはこちらの意図を理解してもらうことが困難で，また，数学的問いが何とか伝わったとしても，それを解決したい動機が伝わらなければ真剣に考えては貰えないわけである．というわけで，代数トポロジーを必要とする私の研究は遅々として進んでいなかった．その状況が2021年に山下さんに巡り合ったことで有り難いことに大きく変化したのである．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/825

826: １３２人目の素数さん [] 2024/12/28(土) 22:00:20.99 ID:aD5GuW9/

つづき

さて，私はコロナ禍のすこしまえ頃から，d次元のヘテロティック弦理論における量子異常の相殺について考えていた．Stolz-Teichner の提唱を仮定すれば，d 次元のヘテロティック弦理論は元T ∈TMF22+d(X) によって指定される．また，その量子異常は，数学的には何かコホモロジー作用素αspin :TMF22+d(X) → IZMSpin2+d(X) があって αspin(T) によって記述されることになる．この量子異常が相殺するというのは，さらにそれを標準的な変換IZι : IZMSpin2+d(X) → IZMString2+d(X) によってストリング同境ホモロジーのアンダーソン双対に送るとIZι◦αspin(T)=0 となるということである．

理論物理側からは，特定のd,X,T に対してこれを調べたくなる動機があり，私の技量ではもっとも簡単なd=2,X =ptでT が一般の場合に示すのが限界だった．そんな中，2021 年早春のオンライン研究会に参加した所，山下さんが関連しそうな話をしているのを見かけたので，数日逡巡した後に電子メールで相談をしてみたところ，興味をもってくださったのでしばらくメールのやりとりをした．すると，一ヶ月ほどの間に，上記コホモロジー作用素αspin の厳密な定義をしてくださった．そうこうしていると，なんと特定の物理的動機のあるd,X,T に対してだけではなく，勝手なd,X,T に対してIZι◦αspin(T)=0であることが証明されてしまったのである．これには私はびっくりしてしまった．そもそも，理論物理屋の癖として，特定の例について計算することに気を取られていたので，全ての場合に消えることが示せるなどとは思ってもいなかった．これは，考えている対象を素直に扱いうる中でなるべく一般的な設定を使うと，個別の問題を扱うより考察がむしろ簡単化することがある，という，数学の特徴を良く示しているのだと思う．
しかし，そこに至るまでには，理論物理屋である私のいい加減な説明を理解して，証明すべき厳密な数学の主張を取り出さないといけない．私は過去の二十年ほどの理論物理屋としての研究の過程で，理論物理から生じた数学的問題に関して，幸いなことに複数の数学者に考えていただいたことがある．しかし，これまでは，まず問題を理解して定式化していただくのに数年かかり，さらにそれを証明していただくのにさらに数年かかる，というのが典型的なタイムスケールだった．
そうすると，証明ができた頃には，移り気な私の興味は別の問題にあることが多く，証明ができたこと自体が私の研究に影響を与えるわけではなかった．それが，上記の研究からはじまる私と山下さんとの共同研究の場合は，数ヶ月の単位で進む．これは理論物理屋としての私の研究のタイムスケールと同程度であり，山下さんが定式化して証明してくださる結果が，私の理論物理における考察にリアルタイムで影響を与えてくれるのである．これは私にとってはじめての経験だった．今後も山下さんは私に限らずいろいろな理論物理屋の研究を助けてくださるだろうと思う．山下さん，ご受賞おめでとうございます．今後とも宜しくお願いいたします．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/826

829: １３２人目の素数さん [] 2024/12/28(土) 23:32:46.88 ID:aD5GuW9/

>>821
・弘法も筆の誤りですな
・松本幸夫先生、4次元のトポロジーが大衆向け解説本です。その受け売り
（インタビュー記事が面白かった。フリードマンがフィールズ賞を取った後、態度がでかくなったみたく書いてあったｗ）
　Casson handleという変なもの(微分可能でない)が、ホイットニーのトリックに使えて 4次元ポアンカレが解決されたので、微分可能でない結果だと
・滑らかな 4次元多様体で、「11/8 予想」に対し 古田幹雄氏の結果が最良（下記）も
　松本氏の本にあったと思います

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%98%E6%B3%95%E3%82%82%E7%AD%86%E3%81%AE%E8%AA%A4%E3%82%8A
弘法も筆の誤りは、平安時代の日本からのことわざ
概要
その道に長じたような人であっても、その道において失敗をすることもあるということを意味する
歴史
弘法にも筆の誤りの弘法とは空海のことである。空海とは天皇と共に三筆と呼ばれる書の名人であった。そのような空海が応天門の扁額を揮毫して、掲げられた應の文字には点が1つ欠けていることに気が付いた。それから空海は下から筆を投げつけて点を打ったという伝説が今昔物語集などで語られている。空海は平安時代の人間なのであるが、弘法も筆の誤りということわざが最初に使われるようになったのは江戸時代中期である。このように伝説とことわざの初出で時代に隔たりがあるのは、伝説では空海は筆を誤って点を欠いたのではなく、なぜが剥落したかわざと欠けさせていたとされており、それから空海は超能力で点を補っていたというようなことが語られていたためである。それから900年ほど後の時代である江戸時代中期に弘法も筆の誤りということわざが使われだして、はじめて空海は筆を誤っていたと認識されるようになった
空海が筆を投げつけて点を打った際には、周りにいた人々は拍手喝采して感動した。空海は書のみならず、あらゆる分野において秀でた人物であったとされている。この伝説は、どんな名人でも間違いをすることがあるのみでなく、失敗をしてしまったことに対する処理の大切さを伝える逸話でもあった

www.nippyo.co.jp/shop/book/7188.html
新版4次元のトポロジー
松本幸夫 2016
内容紹介
トポロジーの入門書。ポアンカレ予想の解決など近年の進展を加えた旧版に、低次元トポロジーについてのインタビューを加えて新版化

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E7%9A%84%E3%83%88%E3%83%9D%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
幾何学的トポロジー
低次元トポロジーと高次元トポロジーの差異
次元が 4 は特別で、ある見方（トポロジックな）では次元 4 は高次元であることに対し、他の見方（微分同相として）では次元 4 は低次元である。この重なりによって、次元 4 では、たとえば、R4 上のエキゾチックな微分構造(exotic differentiable structures on R4)のような、例外的な現象が生み出される。このように、4次元多様体のトポロジー的な分類は原理上は簡単であり、重要な問題は、位相多様体は微分可能構造を持つか？と、もし微分可能構造を持つならばどのくらい持つのか？、である。次元が 4 の滑らかな場合は、重要な問題として一般ポアンカレ予想（英語版）が未だ解決されていないことが挙げられる。グルックのツイスト（英語版）(Gluck twist)を参照

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/829

830: １３２人目の素数さん [] 2024/12/28(土) 23:33:14.58 ID:aD5GuW9/

つづき

次元 5 の場合との差異の詳しい理由は、手術理論の基礎となっている重要な技術的トリックであるホイットニーの埋め込み定理（英語版）(Whitney embedding theorem)が、2 + 1 次元を要求するからである。大まかにいうと、このトリックによって、結び目のある球面を"結び目なし"にすることができる。
ホイットニーのトリックの変形は、4 次元でも可能で、キャッソンハンドル（英語版）(Casson handle)と呼ばれる。十分な次元が存在しないため、ホイットニーの円板は新しい捩れ(kink)を発生させ、それを他のホイットニーの円板により解消させることができる。このことから円板の列（「塔」）が発生する。この塔の極限は、トポロジカルではあるが、微分可能ではない写像を得るので、4次元で手術はトポロジカルに機能するが、微分可能ではない。

ja.wikipedia.org/wiki/4%E6%AC%A1%E5%85%83%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
4次元多様体
滑らかな 4次元多様体
交叉形式が不定値で、偶であると、必要ならば向き変えることにより非正の符号とすることを前提とすると、その場合には、ある m と n があり、'm 個の II1,1 のコピーと 2n 個の E8(−1) のコピーの和と同型となる。m ≥ 3n であれば（従って次元は少なくとも |符号| の 11/8 倍）、滑らかな構造が存在し、n 個のK3曲面と m − 3n 個の S2×S2 のコピーの連結和を取ることで与えられる。m ≤ 2n（従って次元は多くとも |符号| の 10/8 倍である）とすると、古田幹雄は滑らかな構造が存在しないことを証明した(Furuta 2001)。このことは 10/8 と 11/8 間にギャップがあり、そこでの答えは未解決である。（上の状態をカバーしていない最小の場合は、n = 2 と m = 5 の場合であるが、しかし、これも棄却されるので、現在知られていない最小の格子は、格子 II7,55 でランクは 62 であり、n = 3 であり m = 7 である。「11/8 予想」は、滑らかな構造は、次元が |符号| の 11/8 倍以下であれば、滑らかな構造は存在しないのではないかという予想である。
対照的に、向き付けされた 4次元多様体上の滑らかな構造を分類する第二の問題はほとんど分かっていない。実際、単独の滑らかな 4次元多様体で、答えが知られているものはない。ドナルドソンは、ドルガチェフ曲面（英語版）のような、単連結でコンパクトな 4次元多様体が存在し、可算無限個の異なる滑らかな構造が存在することを示した。R4 上には非可算無限個の異なる滑らかな構造が存在する。エキゾチック R4を参照。

フィンツシェル (Fintushel) とスターン (Stern) は、手術を使い、多くの滑らかな多様体の上で、互いに異なる大きな数の滑らかな構造をどのように構成するかを示し（任意の整数係数多項式をインデックスとする）、サイバーグ・ウィッテン不変量を使い、滑らかな構造は異なっていることを示した。これらの結果は、単連結でコンパクトな滑らかな 4次元多様体の分類は非常に複雑であることを意味している。現在、この分類が妥当であるというもっともらしい予想はない（いくつかの早い段階の予想は、すべての単連結な滑らかな 4次元多様体は、代数曲面、あるいは、シンプレクティック多様体の向きを保つ連結和かもしれないという予想があったが、否定された）。

en.wikipedia.org/wiki/4-manifold
4-manifold
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/830

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