「名誉教授」のスレ2

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81: １３２人目の素数さん [] 2024/11/15(金) 16:14:25.62 ID:XQ17+bQj

>>77-79
なるほど
下記の 「調和関数のいくつかの話題」 名城大学囲碁部の顧問 鈴木紀明先生
わずか27ページだが、良くまとまっていますね

https://ccmath.meijo-u.ac.jp/~suzukin/
鈴木紀明　Noriaki Suzuki
名城大学 理工学部数学教室
1982年3月に名古屋大学大学院理学研究科博士課程を終了し，広島大学(1982.4-1990.9)，名古屋大学(1990.10-2008.3) を経由して，2008年4月からは名城大学理工学部数学科に所属しています．
囲碁会
2014年4月より名城大学囲碁部の顧問をしています．
https://ccmath.meijo-u.ac.jp/~suzukin/seminer.html
講義・ゼミ
配布資料など
調和関数のいくつかの話題
https://ccmath.meijo-u.ac.jp/~suzukin/dl/2%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%AA%BF%E5%92%8C%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%AC%9B%E7%BE%A9.pdf
2次元調和関数のいくつかの話題
ラプラス方程式の解は調和関数と呼ばれ，物理学や工学でも重要である．
2次元の調和関数の基本的性質を複素関数論の援助を借りて整理し，それらをいくつかの話題に応用する．
§1. 正則関数の基本性質の確認
§2. 2 次元調和関数の基本的性質
§3. 調和関数の逆平均値の定理
§4. 単位円板におけるディリクレ問題
§5. 楕円領域におけるディリクレ問題
§6. ディリクレ原理による解法
§7. 上半平面におけるディリクレ問題
§8. ラドン変換の非一意性を示す調和関数の存在
§9. 半平面の調和関数による特徴付け
[付録 1] 複素数の効用　　
[付録 2] ディリクレ問題の歴史

[付録 2] ディリクレ問題の歴史(数学セミナー2005年11月号より抜粋)
久し振りにメンデルスゾーンのバイオリン協奏曲を聴いた．ディリクレの妻レベッカはこの作曲家の妹だそうである．
17 世紀後半のニュートンの万有引力の法則の発見以来，
重力，静電気学，熱伝導，弾性理論などの多くの物理現象がラプラス作用素
∆:= ∂2 ∂x2 1 + ∂2 ∂x2 2 + ∂2 ∂x2 3 （文字化けあり 原文ご参照）
に関する境界値問題として定式化された．
これがポテンシャル論の始まりである．
そこでは，特に，次の第１種境界値問題が重要となった．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730952790/81

84: １３２人目の素数さん [] 2024/11/15(金) 23:23:07.71 ID:ImmeQPY/

>>82
>”PWB解(ペロン・ウィーナー・ブルロー解)

なるほど
1）”ベルンハルト・リーマンは、彼がディリクレの原理と呼んだ方法に基づいてこの変分問題を解いた最初の数学者でした。唯一の解の存在は、「物理的議論」によって非常にもっともらしいものです。境界上の任意の電荷分布は、静電気の法則により、解として電位を決定するはずです。しかし、カール・ワイエルシュトラスはリーマンの議論に欠陥を見つけ、存在の厳密な証明は、1900年にデイヴィッド・ヒルベルトによって、変分法における直接法を使用して初めて見つかりました。解の存在は、境界の滑らかさと規定されたデータに微妙に依存することが判明しました。”
　は有名ですね
2）Perron method で ”Wiener criterion”とあるね
3）"ブルロー"氏が登場しない

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_problem
Dirichlet problem
History
ディリクレ問題は、一般境界条件を持つ一般領域上の問題を研究したジョージ・グリーンに遡る。彼は、1828年に出版された著書『電気と磁気の理論への数学的解析の応用に関する論文』の中で、この問題を論じている。彼は、この問題を、現在グリーン関数と呼ばれるものを構築する問題に還元し、グリーン関数はどの領域に対しても存在すると主張した。彼の方法は今日の基準からすると厳密なものではなかったが、そのアイデアはその後の発展に多大な影響を与えた。ディリクレ問題の研究における次のステップは、カール・フリードリヒ・ガウス、ウィリアム・トムソン（ケルビン卿）、ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレによって進められ、この問題は彼らの名にちなんで命名された。また、ポアソン核を使用する問題の解法（少なくとも球の場合）は、ディリクレに知られていた（1850年にプロイセン科学アカデミーに提出された論文から判断）。ケルビン卿とディリクレは、「ディリクレのエネルギー」の最小化に基づく変分法による問題の解決法を提案しました。ハンス・フロイトェンタール（科学人名辞典、第11巻）によると、ベルンハルト・リーマンは、彼がディリクレの原理と呼んだ方法に基づいてこの変分問題を解いた最初の数学者でした。唯一の解の存在は、「物理的議論」によって非常にもっともらしいものです。境界上の任意の電荷分布は、静電気の法則により、解として電位を決定するはずです。しかし、カール・ワイエルシュトラスはリーマンの議論に欠陥を見つけ、存在の厳密な証明は、1900年にデイヴィッド・ヒルベルトによって、変分法における直接法を使用して初めて見つかりました。解の存在は、境界の滑らかさと規定されたデータに微妙に依存することが判明しました。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730952790/84

85: １３２人目の素数さん [] 2024/11/15(金) 23:23:25.98 ID:ImmeQPY/

つづき

Methods of solution
For bounded domains, the Dirichlet problem can be solved using the Perron method, which relies on the maximum principle for subharmonic functions. This approach is described in many text books.[2] It is not well-suited to describing smoothness of solutions when the boundary is smooth. Another classical Hilbert space approach through Sobolev spaces does yield such information.[3] The solution of the Dirichlet problem using Sobolev spaces for planar domains can be used to prove the smooth version of the Riemann mapping theorem. Bell (1992) has outlined a different approach for establishing the smooth Riemann mapping theorem, based on the reproducing kernels of Szegő and Bergman, and in turn used it to solve the Dirichlet problem.

https://en.wikipedia.org/wiki/Perron_method
Perron method
In the mathematical study of harmonic functions, the Perron method, also known as the method of subharmonic functions, is a technique introduced by Oskar Perron for the solution of the Dirichlet problem for Laplace's equation. The Perron method works by finding the largest subharmonic function with boundary values below the desired values; the "Perron solution" coincides with the actual solution of the Dirichlet problem if the problem is soluble.

The characterization of regular points on surfaces is part of potential theory. Regular points on the boundary of a domain
Ω are those points that satisfy the Wiener criterion:
略
The Wiener criterion was first devised by Norbert Wiener; it was extended by Werner Püschel to uniformly elliptic divergence-form equations with smooth coefficients, and thence to uniformly elliptic divergence form equations with bounded measureable coefficients by Walter Littman, Guido Stampacchia, and Hans Weinberger.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730952790/85

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