[過去ﾛｸﾞ] なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？ (1002ﾚｽ)
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20: 2024/11/14(木)08:14 ID:GR/b6tfG(2/3) AAS
>>19のつづき
「形式主義は失敗したということになっています。
ゲーデルの不完全性定理より、「無限」への言及を含むような理論Tの中に含まれる手段ではTの無矛盾性を示すことはできません。
有限的な理論がTに含まれていると考えれば、Tの無矛盾性を有限的に示すことはできません。」
正確にいえば、もしTの中でTから矛盾を導く証明の存在から矛盾を導けるなら、Tから矛盾を導ける
だから、対偶をとれば、Tから矛盾が導けないなら、Tの中でTから矛盾を導く証明の存在から矛盾を導く背理法も成功しない
21: 2024/11/14(木)08:18 ID:0kbJwUem(1/4) AAS
「ただ、個人的にはこの結論は性急だと思っています。
Tに含まれない有限的な原理を想定することが可能だからです。」
Tの無矛盾性を、Tを超える理論T’で証明しても、正当だという証にならない
そもそも、Tの無矛盾性を、T自身で証明できたとしても、それが正当性の証になるかどうかもあやしいが
22: 2024/11/14(木)08:22 ID:0kbJwUem(2/4) AAS
>>13
「直観主義（構成主義）
直観主義数学とは、オランダの数学者ブラウアー(1881-1966)によって提唱された立場です。
直観主義数学は大雑把に言って「具体的に操作可能なもの」だけが数学の対象だと考えます。
そして、何かが存在すると主張することはそれを「構成」することだと考えます。」
要するに、手続きの存在に正当性を求める考えかた。
ただしこのような考えかたは無条件に排中律を正当化しない。
存在するともしないとも示せないなら、「存在するかしないかのいずれかだ」と認めないわけだから
23: 2024/11/14(木)08:26 ID:0kbJwUem(3/4) AAS
内包公理を持つ集合論のパラドックスの解決は技術的な事柄であって、集合論の正当化とは実は全く別である（この点が分かってない素人が実に多い）
狭義の数学基礎論は、数学の正当化に関する理論であるが、結局のところゲーデルの不完全性定理以降、不毛とみなされたというのが正解
日本では数理論理学を今だに数学基礎論と呼んでいるが、はっきり言えば不適切である
もう竹内外史も亡くなったし、いいかげん数理論理学に呼称を統一したほうがいい（数学の正当性にこだわった竹内外史をディスるつもりではないが）
24: 2024/11/14(木)08:30 ID:0kbJwUem(4/4) AAS
>>15
本来の二階算術は形式化できない 形式化された二階算術は本来の二階算術より弱い
ついでにいうと、圏論は別に集合論を拡張するために出来たものではない
25(1): 2024/11/14(木)08:45 ID:1bqbe0/S(1) AAS
マクレーンはZFCのF、すなわちフレンケルによる置換公理にケチをつけた
要するにこんな強い公理、普通の数学じゃ使わんし要らんだろう、と
ただ、マクレーンが考えるような集合論は、一般数学者の実用には困らんが
集合論的にはなんか中途半端で美しくないので、集合論の研究者からは嫌われてる
26: 2024/11/14(木)08:53 ID:GR/b6tfG(3/3) AAS
>>25
なお、以下を参照
ツェルメロ集合論
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
27(1): 2024/11/14(木)11:37 ID:V0VFtZLN(1/3) AAS
>>1
なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？
>公理まで遡ってすべての定義・命題を厳密に記述・証明しなければ、正しいとは言えないはず
>もし、公理まで遡る途中の定義・命題を認めても問題なく数学が出来るなら、それを公理とすればいいのでは？
私見だが
結論だけ書いておくと
Q.もし、公理まで遡る途中の定義・命題を認めても問題なく数学が出来るなら、それを公理とすればいいのでは？
A.”途中の定義・命題を認めても問題なく数学が出来る”場合は、殆どが 公理まで遡ることが出来る
なお、特殊例として、”ZFCから独立な命題の一覧”がある、 下記ご参照
Q.公理まで遡ってすべての定義・命題を厳密に記述・証明しなければ、正しいとは言えないはず
省9
28(1): 2024/11/14(木)11:58 ID:I+6a5c22(1) AAS
＞殆ど
公理までさかのぼれない反例ってある？
29(1): 2024/11/14(木)13:21 ID:V0VFtZLN(2/3) AAS
>>28
知る限りないですがｗ
全ての数学を知っているわけではないのでｗｗ
いま、問題になっている望月IUTは、ひょっとして 独自公理かもしれんｗｗｗ
30: 2024/11/14(木)13:31 ID:/Nci0aIo(1) AAS
>>29 笑うところゼロ こいつ馬鹿？
31: 2024/11/14(木)13:39 ID:gMGZOXhe(1) AAS
どうして主張の根拠も添えずに、そういう否定表現だけするのか。
32(1): 2024/11/14(木)13:41 ID:V0VFtZLN(3/3) AAS
>>27 追加
日本語の情報が少ないが
重要ポイントで、ur-element ＝ 原始要素 を許容するか否かが論点としてある
純ZFCは、ur-element を許容しない（下記）
しかし、日本の学部で１年次に教える集合論は、だいたいが ur-element を許容しているはず
これで、ZFCの位置づけが 理解できる
即ち、ur-element （＝ 原始要素）を許容しないと メンドクサイし
ur-element を許容しても、同じ議論が ZFCの議論に翻訳できるってことです
下記 ”Urelements in set theory
The Zermelo set theory of 1908 included urelements, and hence is a version now called ZFA or ZFCA (i.e. ZFA with axiom of choice).[1] It was soon realized that in the context of this and closely related axiomatic set theories, the urelements were not needed because they can easily be modeled in a set theory without urelements.[2]”
省9
33: 2024/11/14(木)13:45 ID:gmeThXrz(1/2) AAS
>>32 全然どうでもいい 典型的な素人の戯言
34(1): 2024/11/14(木)13:47 ID:gJDsPprR(1) AAS
型理論を基礎としたほうが実用的
35: 2024/11/14(木)13:51 ID:gmeThXrz(2/2) AAS
>>34 その心は？
36(1): 2024/11/14(木)15:29 ID:pFuB2DC/(1) AAS
階層型宇宙モデルが実用的
37: 2024/11/14(木)17:31 ID:ObjD6Wyz(1) AAS
Zette
Final
Complete
38(1): 2024/11/14(木)19:08 ID:5ppE+G3l(1) AAS
使う側からすれば無矛盾かどうかなんてどうでもよくて、命題が使える形で用意されてることが重要
39(1): 2024/11/15(金)13:01 ID:+AvGtkVE(1) AAS
>>38
オラクルというか疑似乱数関数を乱数関数ってことにしてボケ倒せることが重要。
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