[過去ﾛｸﾞ] なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？ (1002ﾚｽ)
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1(24): 2024/11/12(火)21:48 ID:ova7e0tZ(1) AAS
公理まで遡ってすべての定義・命題を厳密に記述・証明しなければ、正しいとは言えないはず
もし、公理まで遡る途中の定義・命題を認めても問題なく数学が出来るなら、それを公理とすればいいのでは？
13(9): 2024/11/13(水)10:33 ID:0yIDnyuw(1/3) AAS
>>2-3
下記は、かなり荒っぽい説明ですが
ゆえに分かり易い説明で、参考になります
note.com/yoriyuki/n/n456e260e4b1f
数学基礎論論争は結局どうなったか 筆の滑り 2020年5月17日
数学に関心のある人なら、20世紀の初めに「数学基礎論論争」があったことをぼんやりとは聞いたことがあると思います。数学基礎論論争が結局どうなったかについて書きます。
目次
数学基礎論論争とは
論理主義
形式主義
省12
15(3): 2024/11/13(水)11:02 ID:0yIDnyuw(3/3) AAS
>>13 追加
・1階述語論理か2階述語論理かという話があります ZFCは1階で弱い
・逆数学（2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる）で
”定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのか”が研究されている
なので、ZFCから出発しなくても、良い場合が多い（他人任せ？ｗ）
・ZFCは、はやりの圏論をカバーできていない
そんなところが、ZFCに対する不満（厳密だが、狭くて不便ってことでしょうか？）
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理
省15
49(3): 2024/11/16(土)20:34 ID:XoMbXEhc(2/5) AAS
>>48
1）人は、一階述語論理では 日々のくらし、人生の決断はできない
なぜならば、日々のくらしや人生の決断は
命題 P→Q で Pの部分が不確定で、よって Qも未確定が多々ある
2）例えば、P：数学科へ進学したい、 Q：良い結果が得られる
で P→Qを考えてみると
そもそも Pで 自分が数学科に向いているのか？ 自分が数学科でやっていけるのか？
いやいや、そもそも「数学科がどんなところか？ 入ってみないと分らないではないか！ｗ」
Pに 未確定要素が多いときに、だから、”Q：良い結果が得られる”はもっと未確定になる。運もある
3）しかしながら、人生の決断は
省14
52(4): 2024/11/16(土)21:50 ID:XoMbXEhc(3/5) AAS
>>50-51
ふっふ、ほっほ
下記 ゲーデルの加速定理：この定理によれば、弱い形式的体系では非常に長い形式的証明しか存在しないが、より強い形式的体系では極めて短い形式的証明が存在する、というような文が存在する。より正確にいえば、それはn階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである
あと、『—ゲーデルの加速定理の視点からの考察 渕野昌』を
百回音読してね
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの加速定理
ゲーデルの加速定理は、クルト・ゲーデルにより証明された、数理論理学における定理である。この定理によれば、弱い形式的体系では非常に長い形式的証明しか存在しないが、より強い形式的体系では極めて短い形式的証明が存在する、というような文が存在する。より正確にいえば、それはn階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである
fuchino.ddo.jp/papers/speedup-th-ex.pdf
省7
53(3): 2024/11/16(土)23:25 ID:XoMbXEhc(4/5) AAS
>>49
>結論：「人の思考は、一階述語論理に限られない！」ｗ ；ｐ）
・人には、明日のことは分らない。神のみぞ知る
が 明日のことを考えない人は、人生の落伍者になる
・明日のことは、一階述語論理だけでは扱えない
だから、人の思考形態は、一階述語論理に縛られない
そこを勘違いしている人がいる
”厳密数学”＝一階述語論理 だと
それをやっていると
数学が出来ない人に落ちぶれるだろう
省22
59(3): 2024/11/17(日)08:24 ID:cugt1V1g(1/12) AAS
>>58
(引用開始)
>>n階算術の体系で証明可能な命題であって、
>>n+1階算術ではより短い証明を持つもの
英語版のWikipediaにこんなこと書かれてないけど？
(引用終り)
なるほど
良い指摘だね
1）まず、wikipedia仏語版が下記だ
非公式の説明：”ある与えられた形式体系で証明可能であるが、その体系における最短の証明が異常に長い、比較的短い主張の明示的な例を構築しました”
省23
73(5): 2024/11/17(日)20:03 ID:cugt1V1g(7/12) AAS
>>72 補足
>なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？
>人の脳には、言語化されない 生物としての能力が沢山あるのです（下記など）
>『”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”（渕野語録）』を、百回音読しよう！ ｗ ；ｐ）
・21世紀にはっきりしたことは
ZFCは、多くの基礎論以外の数学者がやっている数学研究には役立たない
・その大きな原因の一つが、ZFCの一階述語論理限定だろうと（私的独善と偏見あり）
(なお、下記 youtu.be 数学基礎論ご参照。なお、謎の数学者は、いま日本に帰国されています)
・一方、圏論は一階述語論理に限られないので、流行っています ｗ ；ｐ）
（>>47より 圏論による論理学 高階論理とトポス 清水義夫 2007/12/14 ご参照）
省11
74(3): 2024/11/17(日)20:16 ID:cugt1V1g(8/12) AAS
>>73 補足
”集合論が普通の数学の数学的直観をゲーデルの加速定理の意味で本質的に何重にも (つまり transfinitely many times に) enhance するのだ，というのが僕の記事で言いたかったことの一つなのですが”
fuchino.ddo.jp/obanoyama2012-2016.html
伯母野山日記 2012 - 2016 渕野 昌
Title: 松原さんへのメール
16.10.02
松原さん
仰られたことが気になったので，こちらに持ってきた 「現代思想」増刊号をめくって対談記事を改めて調べてしまいました．
新井さんの奥さんの話も出てますね．そこに書いてあることも微妙におかしいので， 問題は，小島寛之さんと話をした人の方でなく，小島さん自身の理解の仕方の方なのかもしれません． ただし，集合論云々のくだりについては，仮にそこで引用されている言明が佐藤雅彦先生が仰ったものだとすると， オリジナルの発言に割と近いものになっているかもしれません．しかし，いずれにしても， 『「数学者もZFCで論文を全部書けばよい．そうしないから間違いが起るのだ」 と集合論の研究者は思っている』と思っている， というのは， むしろ日本の (集合論の手法を積極的に使っている人を除いた) 大多数の数学者の集合論の理解 (誤解) の仕方を代表するようなものになっているのかもしれません．
集合論が普通の数学の数学的直観をゲーデルの加速定理の意味で本質的に何重にも (つまり transfinitely many times に) enhance するのだ，というのが僕の記事で言いたかったことの一つなのですが，こんなふうに 言われてしまってはみもふたもないというか…
省3
87(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/11/19(火)16:28 ID:BeCYz6gT(1/4) AAS
>>84
(引用開始)
> ZFCは、多くの基礎論以外の数学者がやっている数学研究には役立たない
> その大きな原因の一つが、ZFCの一階述語論理限定だろう
原因は見当違い 素人はわけもわからず平気で口から出まかせをいう ひろゆきかｗ
単純に置換公理が強すぎるだけのこと
(引用終り)
おサルさんさー
君が、数学科でオチコボレたのは、1980年代だろ？
君の その知識は、もう古いよ ；ｐ）
省13
100(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/11/20(水)11:09 ID:dQKCe6W8(3/9) AAS
>>97
＞誰も検索をバカにしていない
＞検索しかできない馬鹿をバカにしている
ふっふ、ほっほ
大口叩くねｗ ；ｐ）
では問う
君は、検索以上のなにができるの？
一つやって見せてくれない？ｗｗ ；ｐ）
”検索”以上のなにかを・・ｗｗｗ
『なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？』
省1
141(3): 2024/12/01(日)12:41 ID:akzgVyU5(5/5) AAS
>>140
＞箱入り無数目スレ
箱入り無数目スレは
ド素人くんからｗ
"集合論の初歩も分からん数学者"
呼ばわりされた プロ数学者のご帰還待ちだ
証拠保全のため、書かないようにしているのですｗ ；ｐ）
海外の学会へお出かけだったようだ
もう戻っているようですが
しかし、私も ちょっと留守にするので
省4
195(3): 2024/12/03(火)20:49 ID:OLcN+hWh(16/16) AAS
うむ
お分かりいただければ
結構だ
ZFCの公理から存在例化が導ければよし
そうでなければ、常識だと導入するのは、ダメです
199(5): 2024/12/03(火)23:15 ID:JVmAwEet(12/12) AAS
>>>144のリンク先にちゃんと書かれてるよ
(前略)
記号cは論理式A(x)の変数xに代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表すもの
(中略)
以下の推論規則
∃x∈X：A(x) |= A(c)
が成り立つものと定め、これを・・・存在例化（existential instantiation）などと呼びます。
(後略)
ほれ、ちゃんと書かれてるぞ不勉強君
236(3): 2024/12/04(水)19:16 ID:U5RJOIS1(10/17) AAS
>>229-231
なんか論点をずらしているね
端的に聞こう
ZFCの中で、存在例化を明示的に使っている文献を、一つで良いから示せ
出来るよね
もし、出来るならばシャッポを脱ごう
240(3): 2024/12/04(水)20:10 ID:U5RJOIS1(13/17) AAS
>>239 補足
ZFCの中で存在しか言えないものが
常に、存在例化で具体化出来ることになるよ
それおかしくないかい？www
241(3): 2024/12/04(水)20:17 ID:6kU3F8DK(12/18) AAS
>>236
外部ﾘﾝｸ:wiis.info
（引用開始）
選択公理を認める場合、それぞれの全順序部分集合A⊂Xに対して、Aの狭義の上界f(A)∈Xを像として定める選択関数fの存在を保証できます。
つまり、全順序部分集合A⊂Xを任意に選んだとき、それに対して選択関数fが定める値f(A)∈Xは、以下の条件
∀x∈A：x<f(A)
を満たすということです。
（引用終了）
上記通り、選択公理で言えるのは選択関数の存在だけなのに対して、fという選択関数をひとつ固定して論理式の中で使ってますけど？
これが存在例化ですけど？
省1
246(3): 2024/12/04(水)22:13 ID:U5RJOIS1(15/17) AAS
>>245
いや、名前付けているだけ
結局
下記
任意の全順序部分集合が上に有界であれば、
の極大元が存在することを保証できます。
ツォルンの補題は半順序集合の極大元が存在するための条件を明らかにしている一方で、極大元を具体的に特定する方法については何も語っていません。また、半順序集合の極大元は一意的であるとは限りませんが、ツォルンの補題は極大元の個数についても何も語っていません。
引用終わり
だから、証明の便宜のため名前を付けて、証明の中だけ固定しているけど、証明終わったら固定は解除されて具体的なことは言えない
そう言うことでしょ
省1
248(3): 2024/12/04(水)22:27 ID:U5RJOIS1(16/17) AAS
>>246
なんだw
存在例化で、存在が固定されるとか言うけど、
証明の便宜のため名前を付けて、証明の中だけ固定しているけど、証明終わったら固定は解除されて具体的なことは言えない
てか
だったら、存在例化は、ZFCの集合には、何の影響もない
証明の外ではwww
そう言うことでしょ
269(3): 2024/12/05(木)11:51 ID:tofiE6Vv(3/12) AAS
>>265-266
スレタイに関連するから書いておくと
ZFCのwikipediaの解説読んでみな
分出公理の場合と
置換公理の場合と
出来る集合が違うよwww
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ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.221s*