なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？

なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？ (123ﾚｽ)
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68(1): 11/17(日)19:27 ID:cugt1V1g(5/12) AA×
>>66-67 >>52

68:  [] 2024/11/17(日) 19:27:39.72 ID:cugt1V1g

>>66-67
>「一階の述語論理」というただ一つのものがあるって信じてるんじゃないかな

ふふふ
・一階の述語論理を簡単に表すれば、「キレイだが非力」ってこと
・ゲーデルが健在なころ、一階の述語論理が重用された
・しかし、基礎論の研究が進むと、一階の述語論理の非力さが、目立ってきた（下記”自然言語の形式化”など）
・21世紀は、脱”一階の述語論理”がテーマでしょ（>>52より『”科学基礎論研究 No.800 (2018) 数学と集合論 ゲーデルの加速定理の視点からの考察 渕野昌”』）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
一階述語論理
一階述語論理の表現力
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する。このことが一階述語論理が重要視される理由の一つである。この他にペアノ算術のように単独で形式化する理論もある。

健全性と完全性

一階述語論理に関する定理
以下、健全性定理と完全性定理以外の重要な定理を列挙する。
1.コンパクト性定理 ： 文の集合 Σ のすべての有限部分集合がモデルを持つならば、Σ 自身もモデルを持つ。
2.レーヴェンハイム・スコーレムの定理 ： κ を無限基数とする。論理式全体の集合の濃度が κ であるような一階の言語における文の集合がモデルを持つなら、それは濃度 κ 以下のモデルも持つ。
3.恒真論理式全体の集合は（言語にアリティ 2 以上の述語が一つでも含まれていると）決定可能でない。つまり、任意に論理式が与えられたとき、それが恒真であるか否かを判定するアルゴリズムは存在しない（「チューリングマシンの停止問題」を参照）。

他の論理との比較
略

en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic
First-order logic
（google訳）
自然言語の形式化
主要記事:論理変換 § 自然言語形式化
第一階述語論理は、「パースに住むすべての人はオーストラリアに住んでいる」など、自然言語の多くの単純な量指定子構造を形式化することができます。したがって、第一階述語論理は、FO(.)などの知識表現言語の基礎として使用されます。
それでも、自然言語には一階述語論理では表現できない複雑な特徴がある。「自然言語の分析のための手段として適切な論理体系は、一階述語論理よりもはるかに豊かな構造を必要とする」[ 31 ]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/68

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