ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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146: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 08:34:01.29 ID:gsEji7DN

>>142-144
>整列可能定理と選択公理の関係から、両者に「可算」を付けても同じだろうと
>連想したのだろうが、証明を読めば事情はまったく異なる。

やれやれ
証明が読めてない人は、だれでしょか？ ；ｐ）
下記に、整列可能定理→選択公理 の証明を、貼ります！
英語版が分りにくいので、中国版とイタリア版 を追加した
百回音読してね

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof of axiom of choice
The axiom of choice can be proven from the well-ordering theorem as follows.
To make a choice function for a collection of non-empty sets,
E, take the union of the sets in
E and call it X.
There exists a well-ordering of
X; let R be such an ordering. The function that to each set S of E
associates the smallest element of S, as ordered by (the restriction to S of) R, is a choice function for the collection E.■
An essential point of this proof is that it involves only a single arbitrary choice, that of
R; applying the well-ordering theorem to each member S of E separately would not work, since the theorem only asserts the existence of a well-ordering, and choosing for each S a well-ordering would require just as many choices as simply choosing an element from each S.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/146

148: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 08:59:00.29 ID:gsEji7DN

>>145 追加

下記は、選択公理→整列可能定理 の証明です
見てのとおり、可算だ非可算だのの制限は、一切なし

証明のポイントは、
”For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα=f(A∖{aξ∣ξ<α}) ”
の部分です。aα=f(A∖{aξ∣ξ<α})の部分が、選択公理における選択関数を成す
A∖{aξ∣ξ<α}が集合族で、選択関数の定義域ですね

フルパワー選択公理は、集合族が非可算あっても良い
しかし、可算選択公理は、集合族が可算であるので、出来あがる選択された元たちは可算で
可算の整列可能定理になります

なお
可算の整列可能定理→可算選択公理
については、前記の”整列可能定理→選択公理”
の証明を参考にすれば、容易でしょう

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem 整列可能定理
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]

Let the set we are trying to well-order be
A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα=f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type
sup{α∣aα is defined}.■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/148

155: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 09:49:16.30 ID:gsEji7DN

>>143
>可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が
>可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から
>可算選択公理は従わない。

さて、”可算集合の整列可能性（これは自明）”について
これ、下記 整列集合→ Well-order → Well-ordering principle と辿ると
”the set of natural numbers”の ” Well-ordering principle ”と混同してない？
確かに、下記に 整列原理の英文証明があるけど、あくまで 自然数N のことでしょ？ ；ｐ）

『可算集合の整列可能性（これは自明）』は、見つからないよ

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
導入
自然数全体の成す集合 N が通常の大小関係 "<" に関して整列集合となるという事実は、一般に整列原理と呼ばれる。
（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である

en.wikipedia.org/wiki/Well-order
Well-order
In mathematics, a well-order (or well-ordering or well-order relation) on a set S is a total ordering on S with the property that every non-empty subset of S has a least element in this ordering.
The observation that the natural numbers are well ordered by the usual less-than relation is commonly called the well-ordering principle (for natural numbers).

en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_principle
Well-ordering principle
In mathematics, the well-ordering principle states that every non-empty subset of nonnegative integers contains a least element.[1]
Properties
Depending on the framework in which the natural numbers are introduced, this (second-order) property of the set of natural numbers is either an axiom or a provable theorem.
For example:
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/155

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