ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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385: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 10:36:55.76 ID:yCcyDMub

>>370-371
ご苦労さまです
公開処刑は、一人でも継続するつもりだった ；ｐ）

それは >>15より 前スレ
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/973-983
>つまり(ZFCではなく)ZF上で実数は定義不可能と言いたいのですか？
(引用終り)

この”ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？”は、興味があって
公開処刑は、そのついで です

>可算選択公理からの連想であろう

ID:Jha5BKz+ は、御大か
巡回ご苦労さまです

連想というか、下記に”従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる”
とあるので、各種選択公理の強さ（パワー）は、形成できる列の長さで測れるということですね
なお、下記の”>>102 より”の再掲ご参照

>>102 より
2）次に、下記 Well-ordering theorem ：the well-ordering theorem is equivalent to the axiom of choice
　要するに
　選択公理(無制限) ←→ 整列可能定理 (列長さ 無制限)
　従属選択公理(可算無限ω以上だが制限あり) ←→ 従属整列可能定理 (列長さ 可算無限以上だが制限あり)*)
　可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限) *)
　有限選択定理(有限に制限) ←→ 有限整列可能定理 (列長さ 有限に制限)
　追加の注）
　*) 逆 ←は、可算和定理を認めた上で、選択公理の集合族について、各集合を可算に制限することとする
　そうすると、可算和定理より 可算の集合の 可算個の族は可算になる
　なお、可算和定理は選択公理が無ければ導けないが、逆の可算和定理→選択公理は導けないと思われる
　なので、可算和定理は選択公理より弱い仮定になる（可算和定理→可算選択公理が導けないかどうかは知らず）
　なお、限られた条件下を前提として、可算選択公理と 可算整列可能定理の類似が、equivalent
　例えば下記のHorst Herrlich ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”と”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
　∵A＼{x} ∪{x} を 一種の可算無限列構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと
(引用終り)

これについては、>>143の ID:7/7JENEr氏から鋭い指摘がありました
即ち『可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が
可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から
可算選択公理は従わない。』だと

”（これは自明）”の部分以外は、首肯できます
（多分 有限集合の場合自明 の意でしょう）
細かい点は、上記の『追加の注）』を 見てたもれ ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/385

386: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 10:38:04.36 ID:yCcyDMub

つづき

>集合2^Xの選択公理を用いて、Xの濃度の部分的な値のみを用いている。
>では、最初からXの濃度で済ますことが出来るかと言えば、おそらく無理。

そこ、おサルさん>>7-10の勘違いでしょうね ；ｐ）
　>>292の 定理　選択公理⇒整列定理 証明 で
『空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される』
と書いたでしょ、おかしな事を書いている・・ｗ ；ｐ）
後で、ほじくらせて貰いますよ、乞うご期待 （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
他の公理との関連
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる。

>>154より
alg-d.com/math/ac/countable_union.html
可算和定理 壱大整域
命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない．
証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする．以下略

（いつもお世話になっている尾畑先生）
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf
「第11章 選択公理」p164 の定理11.7 (可算和定理)
(選択公理なしでは証明できない)

>>84より
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/386

390: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 12:28:27.68 ID:yCcyDMub

公開処刑
　>>292 より
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。
以上で≦がX上の全順序であることが確認された。
さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である。
(引用終り)

1）これ、ID:WVUbhM43さんのご指摘
　>>307『f({a,b})=a, f({b,c})=b, f({c,a})=c
　なるfのとき、a,b,cの順序は定まりますかね？』
2）また >>313-315 『たとえば、X(全集合)={a,b,c}で
　f({a,b,c})=a, f({b,c})=b のとき、a<b<c と整列する。
　このとき、f({a,b}),f({c,a})の値は使われない。
　（aがf({a,b,c})=aとしてあらわれているから。）
　というわけで、選択函数fがあっても
　すべての値を使うのではなく、一部の値しか使われない。
　そして、一つずつ元が減っていくという関係で
　（部分集合全体のなす集合）のある部分集合が、Xを
　最初の集合として、一列に並ぶ。
　このとき一つずつ減っていく元がfによって選ばれている
　という仕組み。
　fのすべての値を使ってるわけではないが、fがあれば
　「一つずつ元が減っていくという関係で（部分集合全体のなす集合）
　のある部分集合が一列に並ぶ」、ということも
　すっきり示される形になっている。』
3）この二つのご指摘の意味分ってないでしょ？
　上記1）は、2項関係の定義になっていません
　上記2）は、”Xの任意の空でない部分集合Y”は、やり過ぎ
　それだと、無駄に複雑にしているだけ
　最小限として、”一列に並ぶ”、”一つずつ減っていく元”
　を実現するには、選択関数を べき集合で 任意の空でない部分集合Y＝2^X
　は、無駄に複雑にしているだけ

まあ、この指摘を言われて
この二つ 理解できていないかったのかな？

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/390

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