ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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464: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/19(日) 20:57:54.47 ID:RlRmaz0L

>>441
>　Jechの証明のfから上記の性質を持つfに改造できればいいってことで
>　多分いろいろやり方はありそうだけ
>　（たとえばfが半順序になるところまでなんとか持って行って
>　　ツォルンの補題を経由して証明するとか）
>　一番簡単なのはJechの証明の方法でとにかく整列しちゃうってことですかね
>　ということで意図が分かると、
>　阪大工学部卒の凡人が貶すほど酷いものでもないとわかりますね

おサルか？ｗ >>7-10
自分が書いた証明を、他人になりすまして
評論か？ ばれて居るぞ！ｗ ；ｐ）

>>422
(引用開始)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
Let the set we are trying to well-order be A,
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics).
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
冒頭
”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite
one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A .
と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている）
最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている
（enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう）
(引用終り)

それでは、海賊版のThomas Jechの 証明を 転記しておくからｗ
頑張れぇ〜！ｗｗ ；ｐ）
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/464

473: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/20(月) 15:58:24.24 ID:7RKCNKc8

＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ）

さて >>465 より
(引用開始)
”we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A.”
ああ、ごめんごめん。きみ、英語全く読めないニホンザルだったな。翻訳しとくわ。
「Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数fを用いて、帰納的に行うことができる。」
(引用終り)

それでな おサルさんよ>>7-10
もう一度 君の証明と対比するよ
　>>292 より
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。
以上で≦がX上の全順序であることが確認された。
さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である。
(引用終り)

一方 >>464 より
それでは、海賊版のThomas Jechの 証明を 転記しておくからｗ
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

さて
１）両者を対比すると、その差歴然
　おサルはど素人。Thomas Jechの 証明は、プロ！
２）おサルで首肯できるのは、１行目だけ
　２行目からスベっていますｗ ；ｐ）
　”X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する”
　って、それ 全く定義の体をなしていないことは、すでに指摘した
３）ある順序 aRbが与えられたとき
　それが 整列順序であるか否か？
　下記 尾畑研 整列集合：すべての空でない部分集合が最小元をもつ
　ここの扱いが一番難しい
　ところが、おサルの証明は
　『≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから』とスベっているｗ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/473

474: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/20(月) 16:01:00.87 ID:7RKCNKc8

つづき

４）さて 尾畑研 整列集合 定理13.14 より、順序同型 を 考えて
　さらに 14.1順序型としての順序数 から 整列集合の順序型→順序数 を使うことを思いつくだろう（Jechのテキストにも書いてある）
　もし、この ”整列集合の順序型→順序数”を使わないで、自力で順序を導入して ”整列順序”の「・・任意部分集合が最小元をもつ」を証明しよとすると、大変だろ
　ここを処理するのが、一つは 上記 Jechの順序数との対応付け
　もう一つが、ツォルンの補題を使うスジです（下記 尾畑研 13.3 整列可能定理 ご参照）

５）また、上記 Jech ”That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.”は
　下記のen.wikipedia の Well-ordering theoremの証明では、省かれているよ
　溺れる者は藁をもつかむだろうｗ ；ｐ）
　さらに、Jech ”Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.”
　が、下記 en.wikipedia の Well-ordering theoremの証明の ”of order type sup{α∣aα is defined}.”に対応している

(参考)
東北大 尾畑研(いつもお世話になっております)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1
第13章 整列集合
13.1 整列集合
順序集合(X,≼)はすべての空でない部分集合が最小元をもつとき,整列集合であるといいそのような順序を整列順序という
P194
定理13.14 整列集合に対して次の3つの場合のうちいずれかつだけが成り立つ
(i)XとYは順序同型である
(ii)XとYの切片が順序同型である
(iii)Xの切片とYが順序同型である

13.3 整列可能定理
ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いたがここではツォルンの補題を用いて証明しよう

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_14.pdf
TAIKEI-BOOK :2019/1/1
第14章順序数
14.1順序型としての順序数
一般に順序同型な2つの順序集合は同じ順序型をもつといい 整列集合の順序型を順序数という
つまり順序数αというときは それに対応する整列集合(A,≼)を念頭にして それと順序同型な整列集合を代表するものと理解する
このあたりの取扱いは集合の濃度と同様である
なお順序数そのものの定義は第14.3節で与える

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/474

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