[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
544(2): 01/23(木)16:23 ID:F2cs9bbp(1/3) AAS
>>318
>いい証明ができたら、教えてくれ
いいかどうが分からないが、考えたので書いてみる
Xを集合とする。
Xの任意の空でない部分集合Yをその元yに対応させる写像 φ(Y)=y の存在が選択公理により保証される。
写像 ψ:2^X→2^X を ψ({}):={},Y≠{}⇒ψ(Y):={φ(Y)} で定義する。
Cを順序数全体のクラスとする。
写像 g:C→2^X を g(λ)=X-∪[n∈λ]ψ(g(n)) で定義する。定義より ∀n,m∈C.n≧m⇒g(n)⊂g(m)。
いま A:=∩[λ∈C]g(λ)≠{} を仮定。仮定より ∃λ∈C.g(λ)=A。
gの定義より ¬(φ(A)∈g(λ+1)) だから ¬(A⊂g(λ+1)) だが、これはAの定義と矛盾する。よって A={}。よって ∃λ∈C.g(λ)={}
省5
545(2): 01/23(木)16:32 ID:F2cs9bbp(2/3) AAS
>>318
>なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
うん、俺もその辺だいぶ悩んだ
自分では解決できたと思ってるが、正しいかは分からん
546: 01/23(木)18:09 ID:o+VGPX9a(4/4) AAS
>>544
>いいかどうが分からないが、考えたので書いてみる
時間があったら読んでみる
>>545
結局順序数の中に上限が存在しないならそれは集合ではない
ということかと勝手に思ってるが、正解かどうかはJechに聞いてくれ
547(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)18:26 ID:OWxAi42s(10/12) AAS
>>541 つづき
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
>>544 お愉しみを邪魔して悪いが
ちょっと、『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に戻る
結論は
１）ZF上で、コーシー列が収束することは言える
２）ZFC上でならば、コーシー列が収束することが、実数の定義として成り立ち
従来知られている 実数の位相的な性質 完備距離空間だとか なんだとか いろいろ 言える
省24
548: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)18:27 ID:OWxAi42s(11/12) AAS
つづき
(参考 追加)
en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice
Equivalent forms
There are many equivalent forms to the axiom of countable choice, in the sense that any one of them can be proven in ZF assuming any other of them. They include the following:[8][9]
・Every countable collection of non-empty sets has a choice function.[8]
・Every infinite collection of non-empty sets has an infinite sub-collection with a choice function.[8]
・Every σ-compact space (the union of countably many compact spaces) is a Lindelöf space (every open cover has a countable subcover).[8] A metric space is σ-compact if and only if it is Lindelöf.[9]
・Every second-countable space (it has a countable base of open sets) is a separable space (it has a countable dense subset).[8] A metric space is separable if and only if it is σ-compact.[9]
省7
549: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)18:27 ID:OWxAi42s(12/12) AAS
つづき
en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
Construction of the real numbers
en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_(philosophy_of_mathematics)#Example_from_real_analysis
Constructivism (philosophy of mathematics)
Example from real analysis
In classical real analysis, one way to define a real number is as an equivalence class of Cauchy sequences of rational numbers.
en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space
Complete metric space
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
省4
550(1): 01/23(木)19:35 ID:F2cs9bbp(3/3) AAS
>>547
>ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？
どこまでもクソも無い
実数とは連続公理を満たす順序体（の元）である
よってZFで連続公理を満たす順序体が構成できればそれがZF上の実数である
それ以上でも以下でもない
551(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)21:02 ID:y/IThbaj(2/6) AAS
>>550
>実数とは連続公理を満たす順序体（の元）である
>よってZFで連続公理を満たす順序体が構成できればそれがZF上の実数である
>それ以上でも以下でもない
なるほど
それは、理屈だ
至言ですね
よって、結論
・ZFで、コーシー列の収束は証明できる。そこで詰み
・ZF+可算選択公理で、先に進める。例えば、”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）>>547
省29
552: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)21:02 ID:y/IThbaj(3/6) AAS
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Complete metric space
In mathematical analysis, a metric space M is called complete (or a Cauchy space) if every Cauchy sequence of points in M has a limit that is also in M.
Intuitively, a space is complete if there are no "points missing" from it (inside or at the boundary).
For instance, the set of rational numbers is not complete, because e.g.
√2 is "missing" from it, even though one can construct a Cauchy sequence of rational numbers that converges to it (see further examples below).
It is always possible to "fill all the holes", leading to the completion of a given space, as explained below.
(引用終り)
以上
553(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)21:16 ID:y/IThbaj(4/6) AAS
>>545
(引用開始)
>>318
>なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
うん、俺もその辺だいぶ悩んだ
自分では解決できたと思ってるが、正しいかは分からん
(引用終り)
>>318 より
個人的には>>309のJechの証明も、ちと不安だ
なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
省18
554: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)21:19 ID:y/IThbaj(5/6) AAS
>>553 タイポ訂正
それはとこかく、いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
↓
それはともかく、いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
555: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)23:35 ID:y/IThbaj(6/6) AAS
>>551 関連
math.stackexchange
で
Feferman has, I think, spent quite a bit of intellectual effort on just this question; see, for example, math.stanford.edu/~feferman/papers/psa1992.pdf. –
LSpice
CommentedAug 29, 2014 at 23:51
とあったので、下記貼ります
(参考)
math.stanford.edu/~feferman/papers/psa1992.pdf
From PSA 1992, vol. 2 (1993),
省6
556(1): 01/24(金)01:40 ID:Y9e4pxHo(1/7) AAS
>>551
どれほど言い訳を重ねても
「ZFで実数は存在しない」
が正しくなることはありません 残念！
557(2): 01/24(金)03:50 ID:knZwyXgJ(1) AAS
>>553
> いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
それ、論点先取
問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから
> そうすると、その濃度から決まる 順序数の上限が存在することが言えるだろう
> それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない
> つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる
> 集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは？
逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？
558(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/24(金)07:59 ID:U1RMCmJs(1/3) AAS
>>557
> 逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？
同意です
その筋は、ツォルンの補題の証明に書いてあった
『この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。』
とか。（まだ、分ってないので、ツッコミなしね）
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題（英: Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題
証明の概略
省26
559(1): 01/24(金)08:02 ID:vpG+s33o(1) AAS
>>558
なんで可算選択公理に固執してんの？
560: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/24(金)10:17 ID:BCvEAUed(1/10) AAS
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
>>559
>なんで可算選択公理に固執してんの？
良い質問ですね by 池上彰
１）『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』を明確にするためです
つまり、ZFだけと、選択公理ありのZF+C 二つだけでなく
ZFだけ ＜ ZF＋可算選択公理 ＜ ZF＋従属選択公理DC ＜ ZF＋選択公理AC(フルパワー)
の４つの選択肢をおくことで、冒頭の議論を明確にするため
省3
561(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/24(金)10:23 ID:BCvEAUed(2/10) AAS
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
>>10より再録
・自然数 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
『形式的な定義 自然数の公理
以上の構成(注 ノイマン構成)は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
省23
562: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/24(金)10:36 ID:BCvEAUed(3/10) AAS
>>501
>基礎論の権威が六甲山のあたりにいるようだ
遠隔レスですが
ここは、知る人ぞ知るの
渕野 昌 (Sakaé Fuchino)氏
伯母野山日記 のこと fuchino.ddo.jp/obanoyama.html
”篠原伯母野山町（しのはらおばのやまちょう）は兵庫県神戸市灘区の町名”（下記）
えーと、ネット地図で見ると、渕野氏が勤務していた 神戸大に近いところです
六甲山の麓ですね
(参考)
省4
563(1): 01/24(金)11:09 ID:Y9e4pxHo(2/7) AAS
>>558
>では、集合Ｒの性質はどうか？
>・>>547にあるように、ZF＋可算選択公理と、下記がEquivalent
こじつけ
選択公理無しで言える性質もいくらでもある
選択公理有りで言える性質もいくらでもある
恣意的に後者を持ち出したところで只のこじつけに過ぎない
どれほど言い訳を重ねても
「ZFで実数は存在しない」
が正しくなることはありません 残念！
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 439 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.019s