[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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601: 01/25(土)17:28 ID:AIirwIxg(5/8) AAS
>>598
＜六甲山のサルの藁人形論法＞
>集合Aの冪集合P(A)に、順序数の割当ができるという
六甲山のサルの幻聴
選択公理を適用する集合族がP(A)‐Φだといったが
P(A)-Φが整列できる、とはいってないし
Jechの証明はもちろんそうなってない
サルが勝手に「集合族そのものが整列される」と
何の根拠もなく思い込んでるだけ
その思い込みは全く初歩レベルの誤解
省4
602(1): 01/25(土)18:07 ID:AIirwIxg(6/8) AAS
Aが有限集合{1,2,3}だとしよう
Jechの証明の方法ではP(A)-{}に対して選択関数fが存在する
例えば
f({1,2,3})=1
f₍{1,2})=1
f({2,3})=2
f({1,3})=1
f({1})=1
f({2})=2
f({3})=3
省20
603: 01/25(土)19:15 ID:X5Ca4Lbk(1) AAS
>>602
>P(A)-Φの可能な選択関数に対して得られるAの整列を考えてみてもおもろしいだろう
選択函数fがAの同じ整列関係を定めるとき同値とすることで、選択函数全体の集合に同値関係が入る。
各同値類には、各整列関係から定まる「特別な選択函数」が一つだけ含まれている。
604(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/25(土)19:24 ID:vKwDmbNO(9/11) AAS
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
>>598 補足
(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. 注）＊
省34
605: 01/25(土)19:57 ID:Gj5NB1tI(9/12) AAS
>>604
>3）sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限 Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので
> 証明が終わる■
ゼロ点
君supって何か分かってる？
606(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/25(土)20:04 ID:vKwDmbNO(10/11) AAS
>>604 補足
>3）sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限 Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので
証明が終わる■
1）集合の濃度については、下記のja.wikipediaの通り
2）つまり、集合の濃度の割り当てには
ノイマン流（選択公理を仮定する）と
スコットのトリック（選択公理なしで、正則性公理を使う）
がある
（これで「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」）
3）いま、>>604のように、選択公理→整列可能定理の証明だけ 考えるならば
省23
607: 01/25(土)20:09 ID:Gj5NB1tI(10/12) AAS
>>606
>「集合の濃度から、順序数の上限が決まる
ゼロ点。
順序数ωとω+1はどちらも可算濃度だが、ω≠ω1。
君上限とは何か分かってないでしょ。
608: 01/25(土)20:11 ID:Gj5NB1tI(11/12) AAS
ω≠ω+1
609(2): 01/25(土)20:37 ID:AIirwIxg(7/8) AAS
ところでZFでは最小の無限順序数ωのべき集合P(ω)が整列不能なモデルが存在する
（もちろん、このようなモデルでは選択公理は成立しない）
CantorやZermeloがこれを聞いたら発狂するだろうな
610: 01/25(土)20:40 ID:AIirwIxg(8/8) AAS
>>609で示したモデルはもちろん箱入り無数目も不成立である
尻尾同値類の代表を選択する関数が存在しないから
注）無限列を例えば有理数の無限小数展開に制限するとかなら
選択公理なしに代表が選べるから箱入り無数目はもちろん成立する
611(1): 01/25(土)22:35 ID:Gj5NB1tI(12/12) AAS
>>606
上限とは上界全体の集合の最小元のこと。
よって|sup{α|aα is defined}|=|A|でなければならない。
一方|P(A)|>|A|だから、
>3）sup{α|aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限 Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので
> 証明が終わる■
は大間違い。
612(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/25(土)23:26 ID:vKwDmbNO(11/11) AAS
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
>>606 補足
(引用開始)
2）つまり、集合の濃度の割り当てには
ノイマン流（選択公理を仮定する）と
スコットのトリック（選択公理なしで、正則性公理を使う）
がある
（これで「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」）
省32
613: 01/26(日)00:49 ID:b1A8rVdb(1/24) AAS
>>612
>補足しておく
無駄。
614: 01/26(日)00:49 ID:b1A8rVdb(2/24) AAS
なぜなら
>これを一般化すると、無限集合Aがなんらかのアレフ number であったとして
>それを、整列させるやり方は、上記の自然数Nの例示と同様に、一つではなく
>また、整列の長さも異なるが、その列の長さは 一つ上の アレフ numberを超えることはない
>到達することもない
がトンチンカンだから。
615(2): 01/26(日)00:50 ID:b1A8rVdb(3/24) AAS
なぜなら重要なのは
>sup{α|aα is defined}
であって、aαの並び方は選択関数で一意に決まり、他の並び方を考える必要がまったく無いから。
616(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/26(日)08:41 ID:57hfZFiX(1/17) AAS
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
>>615
>なぜなら重要なのは
>>sup{α|aα is defined}
>であって、aαの並び方は選択関数で一意に決まり、他の並び方を考える必要がまったく無いから。
あたま腐ってない？
>>612に例示したように
自然数N={0,1,2,3,4,・・・}を整列させるとき
省27
617: 01/26(日)10:09 ID:b1A8rVdb(4/24) AAS
>>616
>あたま腐ってない？
それが君
>並びは、一意ではない。
選択関数で並び
A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・
が一意に定まる。
この並びが整列順序であることを示そうとしているのだから、他の並びが存在することを言ってもトンチンカンなだけ。分る？
>"as desired" (en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theoremより)だよ
君、まったく読めてないね。
省3
618: 01/26(日)10:22 ID:b1A8rVdb(5/24) AAS
>>616
>>選択関数の定義域は？
>>「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？
>なんだそりゃ？
なんだそりゃじゃないよｗ
集合族P(A)-Φに対して選択公理を適用（すなわち選択関数の定義域はP(A)-Φ）しなけりゃ
A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・
が得られないだろｗ
>選択関数が分ってない？
それが君
619(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/26(日)10:36 ID:57hfZFiX(2/17) AAS
>>616 蛇足
(引用開始)
>選択関数の定義域は？
>「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？
(引用終り)
選択公理は、下記では 任意の族Ａ でしょ
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
選択公理
定義
省6
620: 01/26(日)10:46 ID:b1A8rVdb(6/24) AAS
>>616
>>よって|sup{α|aα is defined}|=|A|でなければならない。
>??? なんだそれ？
なんだそれじゃないよｗ
sup{α|aα is defined}の特定によって
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α|aα is defined}.
すると「α<β（順序数の通常の整列順序において）のときそのときのみaα<aβ」で定義されるA上の順序関係<は、望み通りAの整列順序であり、sup{α|aα is defined}順序型のものである。
が言えるんだよ。
sup{α|aα is defined}が特定されなきゃ、「α<β（順序数の通常の整列順序において）のときそのときのみaα<aβ」による(A,<)の定義がwell-definedと言えんだろ？
「|P(A)|>|A|だから上限がある」とか言ってる君がまるで分かってないだけ。
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