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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/
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160: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/12(日) 10:14:12.30 ID:gsEji7DN >>154 追加 見つけてしまった ；ｐ） 下記 ”The union of any countable family of countable sets is countable (this requires countable choice but not the full axiom of choice).” だってさｗ そうすると 命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない． ↓ 命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は可算選択公理が無ければ証明できない． かもしれない（en.wikipediaが絶対正しい保証はないから） (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice Axiom of choice Results requiring AC (or weaker forms) but weaker than it ・Set theory ・The union of any countable family of countable sets is countable (this requires countable choice but not the full axiom of choice). （google訳） AC（またはより弱い形式）を必要とするが、それよりも弱い結果 ・集合論 ・可算集合の任意の可算族の和集合は可算です (これには可算な選択が必要ですが、選択公理の完全版は必要ありません)。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/160
161: １３２人目の素数さん [] 2025/01/12(日) 10:21:25.80 ID:f+uyuyBP >命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という． 頓珍漢。可算選択公理の「可算」とは、集合族の濃度が可算ということで 集合族に属している各集合が「可算」とは限りませんから〜残念。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/161
162: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/12(日) 10:22:07.38 ID:gsEji7DN >>160 補足 >”The union of any countable family of countable sets is countable (this requires countable choice but not the full axiom of choice).” ”any”の意味が、任意有限 countable なのか、あるいは 可算無限までを含むのか？ 文全体の趣旨からすると、後者に読めるが（countable choiceにおける ”countable”の意味と解すれば） まあ、en.wikipediaの書き手が、どこまで意図したのかだが？ 出典がないので、なんとも言えない・・ ；ｐ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/162
163: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/12(日) 10:27:46.02 ID:gsEji7DN >>161 (引用開始) >命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という． 頓珍漢。可算選択公理の「可算」とは、集合族の濃度が可算ということで 集合族に属している各集合が「可算」とは限りませんから〜残念。 (引用終り) いまのコンテキストは >>154 より 『可算集合に対して 整列可能定理を考えると、可算集合の可算和は可算であるから 可算集合の族に対しては・・』 ってことね （＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/163
164: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/12(日) 10:32:54.06 ID:gsEji7DN >>100 (引用開始) なんらかの 例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと 有理コーシー列は出来ても そこで”詰みます”ってことでいい？ (引用終り) ここに 戻るよ いままでの議論は 『可算選択公理や、従属選択公理がないと 有理コーシー列は出来ても そこで”詰みます”ってことでいい？』 ってことの伏線でありまして ；ｐ） やっぱ、この通りでしょ！！ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/164
165: １３２人目の素数さん [] 2025/01/12(日) 11:07:43.59 ID:F+I6x7M1 >>164 負け惜しみ乙 「ZFで実数は存在しない」は間違い。言い訳無用。 そもそも >有理コーシー列は出来てもそこで詰む が意味不明過ぎてなんの言明にもなっていない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/165
166: １３２人目の素数さん [] 2025/01/12(日) 11:12:13.20 ID:By1jwgYu まあ詰んでいるのは◆yH25M02vWFhP の実数理解 彼はン十年前、昭和時代の大学１年生の４月の挫折 を乗り越えられないままのようだ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/166
167: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/12(日) 11:51:59.31 ID:gsEji7DN >>145 (引用開始) ＞可算集合の整列可能性（これは自明） そうだね 一般に、順序数と同濃度な集合は当然整列可能である そして、整列可能定理というのは何をいってるのかといえば 任意の集合は、必ず同濃度の順序数を持つ、ということである (引用終り) >>155に述べた通りだが ・”＞可算集合の整列可能性（これは自明）” については、 "Well-ordering principle ”との混同でしょ すなわち、整列原理は あくまで自然数N についてのこと ・よって、 任意可算集合の整列可能については、可算選択公理を認めるべし ・可算選択公理を認めると、任意可算集合については 濃度比較が可能だろう すなわち、可算選択公理から、任意可算集合の整列が構成できるゆえ ・”任意の集合は、必ず同濃度の順序数を持つ”は、整列可能定理で フルパワー選択公理を含意する http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/167
168: １３２人目の素数さん [] 2025/01/12(日) 12:14:42.71 ID:F+I6x7M1 >>167 >・よって、 任意可算集合の整列可能については、可算選択公理を認めるべし 不要。 xが可算であるとは、Nからxへの全単射fが存在するということ。 x上の二項関係≦を、f(0)≦f(1)≦f(2)≦・・・と定義すれば、≦は整列順序。 証明：Nは通常の大小関係で整列集合だから、xの任意の空でない部分集合yの最小元 f(min(f^(-1)(y))) が存在する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/168
169: １３２人目の素数さん [] 2025/01/12(日) 12:26:59.42 ID:F+I6x7M1 >>167 >・可算選択公理を認めると、任意可算集合については > 濃度比較が可能だろう 任意可算集合は定義から自明に同濃度ですが？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/169
170: １３２人目の素数さん [] 2025/01/12(日) 12:34:32.58 ID:F+I6x7M1 雑談くん、相変わらず何も分かってないね 分からないなら黙ってれば？ わざわざ馬鹿自慢しなくていいよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/170
171: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/12(日) 12:38:52.77 ID:gsEji7DN >>139 >可算整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てきません 戻るよ １）可算整列定理は、可算選択公理から 直接導かれるものであって もちろん 抽象的なものだが 具体的であることを妨げない！ ２）つまり 抽象 vs 具体 の意味さえ 分かってないのか？ 下記の goo ”抽象的” 『１ いくつかの事物に共通なものを抜き出して、それを一般化して考えるさま。「本質を—にとらえる」』 が適合するだろう ３）そうすると、数学の定理や公理で、抽象的に述べられたことは ある一定条件を満たす具体的な 数学の対象について ”共通なものを抜き出して、それを一般化し”たものと考えると 当然、具体的な 数学の対象に ついて、あてハマるのです やれやれ、 数学科卒を名乗らない方がいいなｗ ；ｐ） (参考) https://dictionary.goo.ne.jp/word/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E7%9A%84/ goo辞書 抽象的 の解説 ［形動］ １ いくつかの事物に共通なものを抜き出して、それを一般化して考えるさま。「本質を—にとらえる」 ２ 頭の中だけで考えていて、具体性に欠けるさま。「—で、わかりにくい文章」⇔具象的／具体的。 「ちゅうしょう【抽象】」の全ての意味を見る 出典：デジタル大辞泉（小学館） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/171
172: １３２人目の素数さん [] 2025/01/12(日) 12:42:48.89 ID:F+I6x7M1 馬鹿が何か言ってる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/172
173: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/12(日) 12:49:40.50 ID:gsEji7DN >>168 >xが可算であるとは、Nからxへの全単射fが存在するということ。 >x上の二項関係≦を、f(0)≦f(1)≦f(2)≦・・・と定義すれば、≦は整列順序。 だから それと、下記>>138より 問題は、対角要素を作るための列で >>133より s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...) s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...) s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...) s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...) s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...) ... (引用終り) この 対角要素を構成する具体的な列 が、どうか？ が問題となる そこで、可算選択公理の出番なのよ 可算選択公理を用いて >>133における 『補題：区間[0.1]の実数の集合Tは、非可算である』 の背理法による 『集合Tが、可算である』の仮定について Tの可算整列として、上記の 対角要素を作るための列 が 妥当だと 認められるのです■ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/173
174: １３２人目の素数さん [] 2025/01/12(日) 13:00:46.55 ID:F+I6x7M1 空でない任意の集合xのべき集合に選択公理を適用すれば、xの任意の空でない部分集合をその代表元に対応させる写像fが存在する。 x上の二項関係≦を f(x)≦f(x-{f(x)})≦f(x-{f(x),f(x-{f(x)})})≦・・・ で定義すれば≦は整列順序。 ここで写像fは具体的でないので≦も具体的でない。すなわち整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てこない。 雑談くんには理解できないだろうなぁ（遠い目） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/174
175: １３２人目の素数さん [] 2025/01/12(日) 13:08:47.98 ID:F+I6x7M1 >>173 >この 対角要素を構成する具体的な列 が、どうか？ >が問題となる ならない T値列は任意でよいから >そこで、可算選択公理の出番なのよ 不要 Tが可算という仮定だけでT値列の存在が言えるから 雑談くんは自分が正しいという思い込みが強い 問題はその思い込みには何の根拠も無いこと http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/175
176: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/12(日) 13:37:18.41 ID:gsEji7DN >>174 >x上の二項関係≦を f(x)≦f(x-{f(x)})≦f(x-{f(x),f(x-{f(x)})})≦・・・ で定義すれば≦は整列順序。 >ここで写像fは具体的でないので≦も具体的でない。すなわち整列定理からはいかなる具体的整列順序も出てこない。 >雑談くんには理解できないだろうなぁ（遠い目） いやいやｗｗ ；ｐ） おっさんな >>146-147の Well-ordering theorem （整列可能定理）の ”Proof of axiom of choice”などで （中国版より（英語版でも同様）） 『×に整列関係Rがある。 それぞれEの元Sで、S中の関係Rで配置される最小元で 選択関数ができる。 これにより、目的の選択関数が得られます』 つまり、目的の選択関数は 関係Rに依存する（各集合族で 関係R による 最小元を使う） そして、関係Rは 整列可能定理 すなわち 任意集合（非可算でも）から 一つずつ元を、適当に選んで並べて良いという主張で 従って、最初は全集合から選び、二番目は全集合から一つ減ったものから選び 三番目は全集合から二つ減ったものから選び・・・ などと、これを最後まで繰り返して、整列順序が構成されること ここは、理解できていますか？ これが 理解できていれば、選択関数は 整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と つまりは、選択関数は抽象的な存在であるが （例え その一部分の場合も含めて） 具体的であることを妨げないのです えーと、 >>133より s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...) s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...) s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...) s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...) s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...) ... (引用終り) ここで、 s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)＝0 s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)＝1 ですねｗｗ ；ｐ） 「だれが、こんな勝手なことやっているのか！？」と怒ってもｗ それは、選択公理や整列可能定理の範囲で、 その勝手な行為はｗ 決して禁止されていなのです！！ｗｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/176
177: １３２人目の素数さん [] 2025/01/12(日) 13:40:42.64 ID:F+I6x7M1 >>176 >これが 理解できていれば、選択関数は >整列可能定理の 関係R の構成を通じて 具体化可能だ！と じゃあ実数の整列順序を構成してみて 整列可能定理でできるんでしょ？ よろぴくー http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/177
178: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/12(日) 13:51:36.34 ID:gsEji7DN >>176 タイポ訂正 その勝手な行為はｗ 決して禁止されていなのです！！ｗｗ ↓ その勝手な行為はｗ 決して禁止されていないのです！！ｗｗ さて >>175 (引用開始) >この 対角要素を構成する具体的な列 が、どうか？ >が問題となる ならない T値列は任意でよいから (引用終り) 集合Tが可算ということからは 集合Tと自然数Nとの間の一対一対応が 存在することが保証されただけですよ ”T値列は任意でよい”は、言えない 卑近な例で、有理数Qで、任意列を作るならば 1,1/2,1/3,・・1/n,・・,2,・・（残りのQの元の適当な列） を作ると、この列は 冒頭の”1,1/2,1/3,・・1/n,・・”の 部分だけで、自然数Nを尽くしてしまう しかし、有理数Qをうまく整列させれば、自然数Nとの一対一対応が可能なのです （証明は、思いつくであろう by ガロア ；ｐ） 可算選択公理(それから導かれる 可算整列可能定理）を認めてもよい！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/178
179: １３２人目の素数さん [] 2025/01/12(日) 13:57:27.99 ID:F+I6x7M1 >>178 >”T値列は任意でよい”は、言えない じゃあ Tの元すべてを含む任意のT値列でよい に訂正。 任意でよいんだから >この 対角要素を構成する具体的な列 が、どうか？ >が問題となる は間違い 理解できる？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/179
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