ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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236(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)18:15 ID:xSRlEtRO(10/17) AAS
つづき

Notes et références
3．Pour d'autres énoncés équivalents à ACω, voir (en) Horst Herrlich, « Choice principles in elementary topology and analysis », Comment. Math. Univ. Carolinae, vol. 38, no 3,‎ 1997, p. 545-552 (lire en ligne [archive]) et (en) Paul Howard et Jean E. Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Providence, R.I., AMS, 1998.

archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
省25

237: 01/13(月)18:41 ID:2LyGh2G/(9/10) AAS
>>235
>戻る
未練がましい
いくらコピペを重ねても「ZFで実数は存在しない」なる間違いが正しくなることは無い

238: 01/13(月)18:58 ID:TxxvswZ2(12/15) AAS
ところでXが可算集合だとして、
もし選択公理による整列定理の方法でXを整列する場合、
選択公理を可算選択公理にしたら不可能

なぜならば、Xの空でない部分集合の全体が可算集合でなく非可算集合だから

まあ、実際にはXが可算であるとわかっているならば
ωとの一対一対応を使えば整列できる
（Xが可算であると示す、つまりωとの一対一対応を示すのに
　可算選択公理を使うことはあるかもしれんが
　Xが非可算であるとする場合には、ωとの一対一対応があると前提して
　そこから矛盾を導くのだから、ωとの一対一対応の存在を証明できるわけもなく
省1

239(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)19:08 ID:xSRlEtRO(11/17) AAS
>>235-236より

1）可算選択の公理なしで、コーシー列の収束が言えることと
　上記 fr.wikipedia 可算選択公理における下記の記述とは、矛盾しないと思う
”Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
省14

240: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)19:09 ID:xSRlEtRO(12/17) AAS
つづき

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Separable_space
Separable space
In mathematics, a topological space is called separable if it contains a countable, dense subset; that is, there exists a sequence
{xn}n=1〜∞ of elements of the space such that every nonempty open subset of the space contains at least one element of the sequence.
Like the other axioms of countability, separability is a "limitation on size", not necessarily in terms of cardinality (though, in the presence of the Hausdorff axiom, this does turn out to be the case; see below) but in a more subtle topological sense. In particular, every continuous function on a separable space whose image is a subset of a Hausdorff space is determined by its values on the countable dense subset.

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E5%88%86%E7%A9%BA%E9%96%93
可分空間
数学の位相空間論における可分空間（かぶんくうかん、英: separable space）とは、可算な稠密部分集合を持つような位相空間をいう。つまり、空間の点列 {xn}∞〜n=1 で、その空間の空でない任意の開集合が少なくとも一つその点列の項を含むものが存在する。
省4

241: 01/13(月)19:14 ID:TxxvswZ2(13/15) AAS
集合論研究者に絶対ヤな顔される集合論総括

カントール：無限集合の概念を考案　実数全体が集合となることを示し　連続体仮説を提案
ツェルメロ：集合論の公理を考案　選択公理によっていかなる集合も整列可能であることを示す
ゲーデル　：構成可能集合によるモデルを考案　選択公理の相対無矛盾性を証明
コーエン　：強制法（フォーシング）を考案　連続体の濃度が決定不能であることを示す　
　　　　　　また　選択公理を偽とする集合論の相対無矛盾性を証明

要するに
「実数全体を考え、もっともらしい前提によって整列可能であることは示せ
　しかも、もっともらしい前提の無矛盾性を示せたが
　一方　実数の濃度は決定できず、それどころか実数が整列不能だとしても
省2

242(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)19:40 ID:xSRlEtRO(13/17) AAS
>>239
(引用開始)
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
(引用終り)

1）リンデレフ空間までしか言えてない　；ｐ）
2）Rだと、Compact space なのだが・・、下記 Compact space
　Metric spaces の項で、”For any metric space (X, d), the following are equivalent (assuming countable choice)”
　とあって、
省11

243: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)19:41 ID:xSRlEtRO(14/17) AAS
つづき

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Compact space
（google訳）
数学、特に一般位相幾何学において、コンパクト性はユークリッド空間の閉じた有界部分集合の概念を一般化しようとする性質である。[ 1 ]コンパクト空間には「穴」や「欠けている端点」がなく、すべての点の極限値が含まれているという考え方である。例えば、開区間(0,1) は 0 と 1 の極限値を除外するためコンパクトではないが、閉区間 [0,1] はコンパクトである。同様に、有理数の空間Qは
コンパクトではない。なぜなら、無理数に対応する「穴」が無限にあり、実数空間Rは
2つの極限値+∞ 、−∞を除外しているため、コンパクトではありません。
しかし、拡張された実数直線は両方の無限大を含むためコンパクトになります。
この経験的概念を正確にする方法は多数あります。
これらの方法は通常、計量空間では一致しますが、他の位相空間では同等ではない場合があります
省12

244(1): 01/13(月)20:10 ID:TxxvswZ2(14/15) AAS
>Rだと、Compact space なのだが・・
　ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊ !!!

245(1): 01/13(月)20:19 ID:TxxvswZ2(15/15) AAS
Rがコンパクト空間とか嘘八百ほざくサル初めてみたわ

さすが工学部卒のニホンザル

ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊﾊ !!!

246(1): 01/13(月)22:11 ID:ZZe3wroh(1) AAS
>Rだと、Compact space なのだが・・
読点が入っていて、しかもCompactが大文字で
始まっているので
Rがコンパクトであるという主張を述べているようには思えない。

247(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)22:48 ID:xSRlEtRO(15/17) AAS
>>244-246
ふっふ、ほっほ

　>>255 より再録
(引用開始)
なんらかの
例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと
有理コーシー列は出来ても
そこで”詰みます”ってことでいい？
(引用終り)

戻るよ
省7

248: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)22:51 ID:xSRlEtRO(16/17) AAS
>>247 タイポ訂正

　>>255 より再録
　　↓
　>>225 より再録

249: 01/13(月)23:47 ID:2LyGh2G/(10/10) AAS
>>247
>>229
コピペザルは字も読めないのかい？

250(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)23:59 ID:xSRlEtRO(17/17) AAS
>>242
(引用開始)
3）とすると、(assuming countable choice) ならば、>>239より
　”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　だから、不足しているのは Rが ”Metric” であることだが。”Rが Metric”をいうには、countable choice だけでは不足なのかな？
(引用終り)

下記 Construction of the real numbers の
Construction from Cauchy sequences で
metric spaces として completion（完備）までやっているが、どの選択公理を使うかの記述がない
”axiom of dependent choice”だと思うのだが・・（＾＾
省11

251(2): 01/14(火)02:06 ID:M9OrezAK(1/13) AAS
>>250
コピペは無駄だからやめたら？
これまでコピペにコピペを重ねてきた結果「仮定は証明不要」すら身に付かなかったんでしょ？　ほら無駄じゃん

252(1): 01/14(火)04:40 ID:QQ3O3R4v(1) AAS
>>251
論理の初歩が分かってない人がどんなに知識を貪っても消化できず腹を下す典型かと

253(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/14(火)07:24 ID:V0GJJBJ/(1/5) AAS
>>251-252
夜中の必死のパッチご苦労さまです

いや、消化とかじゃなくｗ
公開処刑ですｗｗ
箱入り無数目のあのあほ二人のね！ｗｗｗ；ｐ）

(参考)
外部ﾘﾝｸ:www.weblio.jp
Weblio 辞書 > 辞書・百科事典 > 日本語表現辞典 > 必死のパッチの意味・解説
必死のパッチ
読み方：ひっしのぱっち
省2

254(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/14(火)07:26 ID:V0GJJBJ/(2/5) AAS
こちらにも、転載しておきますね；ｐ）

2chｽﾚ:math
スレタイ箱入り無数目を語る部屋28(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part2ｗ)
より
実数の構成：
原隆先生　（九州大学数理学研究院）
田崎晴明先生学習院
を貼っておきます

昔、旧ガロアすれで、落合理先生の阪大准教授時代の実数の構成のpdfがあって
取り上げたことがあるが
省24

255(2): 01/14(火)07:56 ID:WWEP0jI4(1/2) AAS
>>253
> 必死のパッチ
　自虐？

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