[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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338: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)10:54 ID:6RwEALUm(3/8) AAS
>>292より 再録
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。
以上で≦がX上の全順序であることが確認された。
さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である
(引用終り)

・これ、いま思うと、君は 集合X から 要素を取り出さずに、集合X の中で
　整列順序を構築しようとしたんだね
・しかし、選択公理⇒整列定理 の 標準的な ”証明のスジ” は
　整列順序については、順序数との対応を付けることで、軽く流す
・順序数との対応を付けるために、
　”集合X から 要素を取り出して 並べる”という　
　これは 多分定石だろうが
　それを知らなかったんだ

つまり、数学の 定石と手スジ（手筋）の勉強不足だった
そういうことですね
ご苦労様です

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