ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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474: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/20(月) 16:01:00.87 ID:7RKCNKc8

つづき

４）さて 尾畑研 整列集合 定理13.14 より、順序同型 を 考えて
　さらに 14.1順序型としての順序数 から 整列集合の順序型→順序数 を使うことを思いつくだろう（Jechのテキストにも書いてある）
　もし、この ”整列集合の順序型→順序数”を使わないで、自力で順序を導入して ”整列順序”の「・・任意部分集合が最小元をもつ」を証明しよとすると、大変だろ
　ここを処理するのが、一つは 上記 Jechの順序数との対応付け
　もう一つが、ツォルンの補題を使うスジです（下記 尾畑研 13.3 整列可能定理 ご参照）

５）また、上記 Jech ”That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.”は
　下記のen.wikipedia の Well-ordering theoremの証明では、省かれているよ
　溺れる者は藁をもつかむだろうｗ ；ｐ）
　さらに、Jech ”Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.”
　が、下記 en.wikipedia の Well-ordering theoremの証明の ”of order type sup{α∣aα is defined}.”に対応している

(参考)
東北大 尾畑研(いつもお世話になっております)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1
第13章 整列集合
13.1 整列集合
順序集合(X,≼)はすべての空でない部分集合が最小元をもつとき,整列集合であるといいそのような順序を整列順序という
P194
定理13.14 整列集合に対して次の3つの場合のうちいずれかつだけが成り立つ
(i)XとYは順序同型である
(ii)XとYの切片が順序同型である
(iii)Xの切片とYが順序同型である

13.3 整列可能定理
ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いたがここではツォルンの補題を用いて証明しよう

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_14.pdf
TAIKEI-BOOK :2019/1/1
第14章順序数
14.1順序型としての順序数
一般に順序同型な2つの順序集合は同じ順序型をもつといい 整列集合の順序型を順序数という
つまり順序数αというときは それに対応する整列集合(A,≼)を念頭にして それと順序同型な整列集合を代表するものと理解する
このあたりの取扱いは集合の濃度と同様である
なお順序数そのものの定義は第14.3節で与える

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/474

480: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/20(月) 17:01:10.69 ID:7RKCNKc8

>>472 追加
　>>385より再録
要するに
・選択公理(無制限) ←→ 整列可能定理 (列長さ 無制限)
・従属選択公理(可算無限ω以上だが制限あり) ←→ 従属整列可能定理 (列長さ 可算無限以上だが制限あり)*)
・可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限) *)
・有限選択定理(有限に制限) ←→ 有限整列可能定理 (列長さ 有限に制限)
　追加の注）
　*) 逆 ←は、可算和定理を認めた上で、選択公理の集合族について、各集合を可算に制限することとする
　そうすると、可算和定理より 可算の集合の 可算個の族は可算になる
　なお、可算和定理は選択公理が無ければ導けないが、逆の可算和定理→選択公理は導けないと思われる
　なので、可算和定理は選択公理より弱い仮定になる（可算和定理→可算選択公理が導けないかどうかは知らず）
　なお、限られた条件下を前提として、可算選択公理と 可算整列可能定理の類似が、equivalent
　例えば下記のHorst Herrlich ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”と”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
　∵A＼{x} ∪{x} を 一種の可算無限列構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと
(引用終り)

さて、繰り返すが
フルパワー選択公理より弱い 選択公理の変種がいろいろ あります
選択公理の変種のパワーは、形成できる列の長さで測れる。すなわち
有限選択定理(有限列) ＜ 可算選択公理ACω(列ωまで) ＜ 従属選択公理DC(列 可算無限ω以上だが制限あり) ＜ 選択公理(列 無制限)

また、下記 Horst Herrlich にあるように
”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
と ”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
とが、Equivalent
A＼{x} ∪{x} を 一種の可算無限列ωの構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと>>385
(”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”ぼ正確な定義が不明だが、最弱の可算選択公理(可算無限ωに制限) を、
　さらに ”for countable collections of subsets of R.”に制限している )
なので
”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　↓↑
”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
証明は、文献 [15], [29], [30]にあるらしい ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/480

481: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/20(月) 17:01:38.43 ID:7RKCNKc8

つづき

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
他の公理との関連
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる。

>>154より
alg-d.com/math/ac/countable_union.html
可算和定理 壱大整域
命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない．
証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする．以下略

（いつもお世話になっている尾畑先生）
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf
「第11章 選択公理」p164 の定理11.7 (可算和定理)
(選択公理なしでは証明できない)

>>84より
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/481

485: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/21(火) 16:52:12.07 ID:N2eH+PDU

>>484
＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/

ご苦労様です
ちょっと出かけていました
さあ　続けようか

有名な ケネス・キューネンの海賊版を覗いてみた
下記 1)2)と4)を見たが、本件の記述はあまりなかった
（ 3)は、期待できそうになかったので、海賊版検索はしなかった）
　記
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%AD%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%8D%E3%83%B3
ケネス・キューネン
主な著作
1)Set Theory. College Publications, 2011. ISBN 978-1848900509.
2)The Foundations of Mathematics. College Publications, 2009. ISBN 978-1904987147.
　翻訳『キューネン数学基礎論講義』藤田博司 訳 日本評論社 2016年 ISBN 978-4-535-78748-3
3)Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland, 1980. ISBN 0-444-85401-0.
　翻訳『集合論―独立性証明への案内』藤田博司 訳 日本評論社 2008年 ISBN 4535783829
4)(co-edited with Jerry E. Vaughan). Handbook of Set-Theoretic Topology. North-Holland, 1984. ISBN 0-444-86580-2.
(引用終り)

さて、”超限帰納法”実数の集合論の基礎の基礎渕野昌(Sakae Fuchino) 2003年 が参考になる
fuchino.ddo.jp/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
2超限帰納法，順序数，基数11
P14
整列順序集合上では，命題を帰納的に証明したり，関数を帰納的に定義したりすることができる．
定理24〜25 （帰納法） 略す
(引用終り)

で、おサル>>7-10は >>473の Thomas Jech
”That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
を強く読んだわけだね

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/485

486: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/21(火) 16:52:48.66 ID:N2eH+PDU

つづき

再度転記しよう
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの 証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

おサルは、『並べる前から集合族 A∖{aξ∣ξ<α}だけ取り出せるか？
　答えは否』というけれど
おサルは、Jech氏の証明について
”That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
を、集合Xに対して、任意の部分集合に対して、順序数との対応が 付けられて それを使って”induction”が可能だと
読んだ

ところがところが、もしそれが可能ならば 例えば実数集合R={r1,r2,・・ri,・・rj,・・,rt,・・}として
これに対して、各単元集合 {ri}, {rj} に なにか順序数を振り当てることができて
αi →{ri}, αj →{rj}, などと順序数との対応ができて
αi ≦ αj とすれば ri ≦ rj の順序が可能で
これは、任意の元 rt に対して 順序数αtとの対応ができて 順序数が整列だから
実数集合R が整列できてしまう

これが、任意集合Xに対する 部分集合で 順序数との対応が可能というならば
その時点で、整列可能定理の証明は、終わってしまい、その後は不要ですな！■

同じ欠点が、>>473に引用した 選択公理⇒整列定理 の証明にも言えて
集合Xの任意の空でない部分集合Y に 二項関係を導入して それが 整列順序だと 証明して
そこから、もとの集合Xの整列順序の可能を証明する

まあ、単純明快だが、欠点は 集合Xの任意の空でない部分集合Yの集まりは、べき集合2^X を成すので
もとの 集合Xを扱うよりも、圧倒的に 難しくなる
（集合X=N(自然数)に対して、2^X＝R(実数)となってしまうことから、明らかだね；ｐ）
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/486

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