[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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538(1): 01/23(木)13:52 ID:/DO4V5tt(2/2) AAS
>>533
間違い読みしてるうちは正しく理解できないよ
539: 01/23(木)13:54 ID:L43wzm6S(3/3) AAS
>徹底的にやろうな
A∖{aξ∣ξ<α}＝A∖{f(A∖{aψ∣ψ<ξ})∣ξ<α} で、もう君、●んでる
ご愁傷様
540: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)14:12 ID:OWxAi42s(8/12) AAS
追加参考
順序数の算術 藤田博司 愛媛大
外部ﾘﾝｸ:www.sci.shizuoka.ac.jp
数学基礎論サマースクール
選択公理と連続体仮説 2019年9月3日
世話人：依岡輝幸（静岡大学理学部数学科
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.sci.shizuoka.ac.jp
集合・濃度・順序数・基数
藤田博司 愛媛大学理学部
2019 年9月3日
省3
541(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)14:34 ID:OWxAi42s(9/12) AAS
>>538
>間違い読みしてるうちは正しく理解できないよ
ふっふ、ほっほ
>>533より
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
おれは、
自分が何をどこまで理解しているかを
示そうとしては いない！ｗｗ
省12
542: 01/23(木)14:47 ID:CiN7ebJS(2/2) AAS
> おれは、自分が何をどこまで理解しているかを示そうとしては いない！
理解してないもんな
君の書き込みは図らずも、君が
> 基礎論のそのまた基礎が全く理解できていないこと
を自ら示してしまっている
自己処刑 自己アナグマ
543: 01/23(木)14:54 ID:DqlpJduC(1) AAS
選択公理
∀X[∅∉X⟹∃f:X→⋃(A∈X)A ∀A∈X(f(A)∈A)]
ここで、Xの各要素を定義するのにf使ったらダメにきまってるだろ
こんなもん論理のイロハのイ
544(2): 01/23(木)16:23 ID:F2cs9bbp(1/3) AAS
>>318
>いい証明ができたら、教えてくれ
いいかどうが分からないが、考えたので書いてみる
Xを集合とする。
Xの任意の空でない部分集合Yをその元yに対応させる写像 φ(Y)=y の存在が選択公理により保証される。
写像 ψ:2^X→2^X を ψ({}):={},Y≠{}⇒ψ(Y):={φ(Y)} で定義する。
Cを順序数全体のクラスとする。
写像 g:C→2^X を g(λ)=X-∪[n∈λ]ψ(g(n)) で定義する。定義より ∀n,m∈C.n≧m⇒g(n)⊂g(m)。
いま A:=∩[λ∈C]g(λ)≠{} を仮定。仮定より ∃λ∈C.g(λ)=A。
gの定義より ¬(φ(A)∈g(λ+1)) だから ¬(A⊂g(λ+1)) だが、これはAの定義と矛盾する。よって A={}。よって ∃λ∈C.g(λ)={}
省5
545(2): 01/23(木)16:32 ID:F2cs9bbp(2/3) AAS
>>318
>なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
うん、俺もその辺だいぶ悩んだ
自分では解決できたと思ってるが、正しいかは分からん
546: 01/23(木)18:09 ID:o+VGPX9a(4/4) AAS
>>544
>いいかどうが分からないが、考えたので書いてみる
時間があったら読んでみる
>>545
結局順序数の中に上限が存在しないならそれは集合ではない
ということかと勝手に思ってるが、正解かどうかはJechに聞いてくれ
547(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)18:26 ID:OWxAi42s(10/12) AAS
>>541 つづき
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
>>544 お愉しみを邪魔して悪いが
ちょっと、『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に戻る
結論は
１）ZF上で、コーシー列が収束することは言える
２）ZFC上でならば、コーシー列が収束することが、実数の定義として成り立ち
従来知られている 実数の位相的な性質 完備距離空間だとか なんだとか いろいろ 言える
省24
548: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)18:27 ID:OWxAi42s(11/12) AAS
つづき
(参考 追加)
en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice
Equivalent forms
There are many equivalent forms to the axiom of countable choice, in the sense that any one of them can be proven in ZF assuming any other of them. They include the following:[8][9]
・Every countable collection of non-empty sets has a choice function.[8]
・Every infinite collection of non-empty sets has an infinite sub-collection with a choice function.[8]
・Every σ-compact space (the union of countably many compact spaces) is a Lindelöf space (every open cover has a countable subcover).[8] A metric space is σ-compact if and only if it is Lindelöf.[9]
・Every second-countable space (it has a countable base of open sets) is a separable space (it has a countable dense subset).[8] A metric space is separable if and only if it is σ-compact.[9]
省7
549: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)18:27 ID:OWxAi42s(12/12) AAS
つづき
en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
Construction of the real numbers
en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_(philosophy_of_mathematics)#Example_from_real_analysis
Constructivism (philosophy of mathematics)
Example from real analysis
In classical real analysis, one way to define a real number is as an equivalence class of Cauchy sequences of rational numbers.
en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space
Complete metric space
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
省4
550(1): 01/23(木)19:35 ID:F2cs9bbp(3/3) AAS
>>547
>ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？
どこまでもクソも無い
実数とは連続公理を満たす順序体（の元）である
よってZFで連続公理を満たす順序体が構成できればそれがZF上の実数である
それ以上でも以下でもない
551(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)21:02 ID:y/IThbaj(2/6) AAS
>>550
>実数とは連続公理を満たす順序体（の元）である
>よってZFで連続公理を満たす順序体が構成できればそれがZF上の実数である
>それ以上でも以下でもない
なるほど
それは、理屈だ
至言ですね
よって、結論
・ZFで、コーシー列の収束は証明できる。そこで詰み
・ZF+可算選択公理で、先に進める。例えば、”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）>>547
省29
552: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)21:02 ID:y/IThbaj(3/6) AAS
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Complete metric space
In mathematical analysis, a metric space M is called complete (or a Cauchy space) if every Cauchy sequence of points in M has a limit that is also in M.
Intuitively, a space is complete if there are no "points missing" from it (inside or at the boundary).
For instance, the set of rational numbers is not complete, because e.g.
√2 is "missing" from it, even though one can construct a Cauchy sequence of rational numbers that converges to it (see further examples below).
It is always possible to "fill all the holes", leading to the completion of a given space, as explained below.
(引用終り)
以上
553(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)21:16 ID:y/IThbaj(4/6) AAS
>>545
(引用開始)
>>318
>なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
うん、俺もその辺だいぶ悩んだ
自分では解決できたと思ってるが、正しいかは分からん
(引用終り)
>>318 より
個人的には>>309のJechの証明も、ちと不安だ
なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
省18
554: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)21:19 ID:y/IThbaj(5/6) AAS
>>553 タイポ訂正
それはとこかく、いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
↓
それはともかく、いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
555: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)23:35 ID:y/IThbaj(6/6) AAS
>>551 関連
math.stackexchange
で
Feferman has, I think, spent quite a bit of intellectual effort on just this question; see, for example, math.stanford.edu/~feferman/papers/psa1992.pdf. –
LSpice
CommentedAug 29, 2014 at 23:51
とあったので、下記貼ります
(参考)
math.stanford.edu/~feferman/papers/psa1992.pdf
From PSA 1992, vol. 2 (1993),
省6
556(1): 01/24(金)01:40 ID:Y9e4pxHo(1/7) AAS
>>551
どれほど言い訳を重ねても
「ZFで実数は存在しない」
が正しくなることはありません 残念！
557(2): 01/24(金)03:50 ID:knZwyXgJ(1) AAS
>>553
> いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
それ、論点先取
問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから
> そうすると、その濃度から決まる 順序数の上限が存在することが言えるだろう
> それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない
> つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる
> 集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは？
逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？
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