[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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807(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/30(木)10:09 ID:Xxyr0Rol(1/11) AAS
>>803-805
まず >>763より
Thomas Jechの 証明 再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■
１）
>> （明らかに、集合Aと同じ濃度）
>> ２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく
>「同じ濃度(順序数)」では(無限)集合Aの要素を全て取り出したということは言えない
上記の"aα=f(A-{aξ：ξ<α})"で、一対一対応が出来ている
なので、aαの集合と A-{aξ：ξ<α}の集合の濃度は等しい（ベルンシュタインの定理 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86）
２）
>「Aのべき集合（空集合を除く）」であれば(無限)集合Aの要素の全てが一度は必ず使われているので集合Aの要素を全て取り出したと言える
意味不明。上記”the family S of all nonempty subsets of A”
から、どうやって A-{aξ：ξ<α} たちを取り出す？
先制攻撃しておくが、集合A'：＝{A-{aξ：ξ<α}｜α < θ} は、Sの部分集合を成すよ
つまり、A' ⊂ S で、部分集合を構成する公理は、置換公理（or 分出公理）を使うのが基本です
３）
>集合Aの整列には、Aと同濃度の集合族に対する選択関数を保証する選択公理で十分って
>書いてあるかな？
話は逆だよ。Akihiko Koga氏の選択公理→整列可能定理の証明で
集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って 聞いたんだよｗ
そして、先制攻撃しておく
上記のように、集合A'：＝{A-{aξ：ξ<α}｜α < θ} は、Sの部分集合を成すので
置換公理（or 分出公理）を使えば良い。集合A'は、Aと等濃度
但し、可算選択公理（列ω限定）ではなく、従属選択公理(任意可算列)が必要>>792
以上
なお、下記のen.wikipedia を引用しておく。Jech, Thomasの証明が元だ
ここで、”as desired”にご注目
公理系は、基本 やりたい数学をやれるように選ぶべし
但し、「やりたい放題」では、矛盾や脱線が起きる
ZFC公理系は、いろんな人が使って、「やりたいことやれるし、いままで 矛盾や脱線が起きてない」
そうい公理系だってことよ
つづく
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