[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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579(1): 01/25(土)05:07 ID:AIirwIxg(1/8) AAS
>>572
>整列集合を定義域とする写像f(x)を{f(y)|y≺x}を用いて定義する
Jechの証明では
a(α)＝{a(ξ)∣ξ<α} ではなく
a(α)＝f({a(ξ)∣ξ<α}) なんですがね
aの定義域は順序数でいいけど
fの定義域は？ Aの空でない部分集合でしょ
fはAの空でない部分集合から要素を選ぶ関数で
この関数の存在を選択公理で保証してるんでしょ
580(1): 01/25(土)05:13 ID:AIirwIxg(2/8) AAS
>>574
>いま、基礎論の教科書を書いているとすると、
>整列可能定理の証明前に、
>任意集合Aが なんらかの濃度を持つ
>という集合の濃度の章（or 節）を、
>すでに書いているかどうか（書けるかどうか）
？
順序数の全体が集合でないことを証明しておけば
整列定理で上限がない場合
Aが順序数の全体を”部分”として含むので
省2
584(1): 01/25(土)09:19 ID:AIirwIxg(3/8) AAS
>>583
> 任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えれば
それ論点先取
集合が濃度を持つ、というために整列定理を使ってるので
sup{α∣aα is defined}が存在しなければ集合ではない、というのは
整列定理と無関係に順序数の全体が順序数でない、ということから言えるだろ
集合の全体が集合でない、というのが整列定理を用いずにいえるのと同じく
586(4): 01/25(土)09:43 ID:AIirwIxg(4/8) AAS
>>585
選択関数の定義域は？
「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？
決して{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}ではないよね
だって、後者の場合aξを定義するのに選択関数使っちゃうから
あくまで{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}はP(A)-Φの部分集合で
しかも、選択公理と超限帰納法の適用の結果として分かるだけ
選択公理に先立って、定義域として示せるわけではない
だから、Jechの証明は可算選択公理では使えない
（ちなみに彌永の「数の体系（上）」岩波新書を読んでたら
省2
601: 01/25(土)17:28 ID:AIirwIxg(5/8) AAS
>>598
＜六甲山のサルの藁人形論法＞
>集合Aの冪集合P(A)に、順序数の割当ができるという
六甲山のサルの幻聴
選択公理を適用する集合族がP(A)‐Φだといったが
P(A)-Φが整列できる、とはいってないし
Jechの証明はもちろんそうなってない
サルが勝手に「集合族そのものが整列される」と
何の根拠もなく思い込んでるだけ
その思い込みは全く初歩レベルの誤解
省4
602(1): 01/25(土)18:07 ID:AIirwIxg(6/8) AAS
Aが有限集合{1,2,3}だとしよう
Jechの証明の方法ではP(A)-{}に対して選択関数fが存在する
例えば
f({1,2,3})=1
f₍{1,2})=1
f({2,3})=2
f({1,3})=1
f({1})=1
f({2})=2
f({3})=3
省20
609(2): 01/25(土)20:37 ID:AIirwIxg(7/8) AAS
ところでZFでは最小の無限順序数ωのべき集合P(ω)が整列不能なモデルが存在する
（もちろん、このようなモデルでは選択公理は成立しない）
CantorやZermeloがこれを聞いたら発狂するだろうな
610: 01/25(土)20:40 ID:AIirwIxg(8/8) AAS
>>609で示したモデルはもちろん箱入り無数目も不成立である
尻尾同値類の代表を選択する関数が存在しないから
注）無限列を例えば有理数の無限小数展開に制限するとかなら
選択公理なしに代表が選べるから箱入り無数目はもちろん成立する
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