★有限要素法(Finite Element Method)★ (392ﾚｽ)
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339: 2017/10/16(月)01:34 AAS
断面力や応力は、目に見えない内力だ
しかし、バネの弾性力は目に見える
だから、物理の基礎を勉強するにはバネがいい
340: 2017/10/16(月)06:08 AAS
ばねを直列につなげると、伸ばしやすくなるでしょうか、伸ばしにくくなるでしょうか。
同じばねを３つ用意して、ばねが１つだけの場合と、ばねを２つ直列につなげた場合とで比較してみます。
どちらも20cm伸ばすとすると、フックの法則から、１つの場合の弾性力は F1=0.2×k [N] 。２つの場合は各10cmだけ伸びることになるから１つ当たりの弾性力は F2=0.1×k [N] 。
そうしますと、２つつなげた場合の弾性力は2倍の 2×F2=0.2×k [N] でしょうか？
341: 2017/10/16(月)06:11 AAS
直列接続のばねを伸ばしたときには各部分にまったく同じ力がはたらいています。
途中が F2[N] ならどこもかしこも F2[N] です。
ばねを伸ばして静止した状態というのは力がつり合った状態です。
ばねの各微小部分同士が同じ力で引っ張り合ってるので静止しているのです。
ミクロな視点でいえば、ばねを構成する原子たちがお互いを F2[N] で引っ張り合ってつり合って静止しているのです。
端っこでも途中でもどの部分においても各微小部分同士は同じ力で引っ張り合ってつり合って静止しています。
というわけで２つつなげた場合の弾性力は 2×F2[N] ではなくて F2=0.1×k [N] です。
ばねが１つのときの F1=0.2×k [N] の半分です。
２つつなげた方が伸ばす力がいらない、すなわち伸ばしやすくなるのです。
このことは、ばねというものは、同じ材質、同じ形状なら長い方が伸ばしやすい、つまりばね定数が小さいということを意味します。
342: 2017/10/16(月)06:14 AAS
ばねを並列につなげた場合はどうでしょうか。
重い荷物を持つ場合は２人で持てば半分の力で済みます。
２人対１人で綱引きをすれば２人の方が勝ちます。
つまり同じばねを２つ並列につなげると、１つのときに比べて倍の力が必要です。
ばねは伸びにくくなるのです。
２つで１つのばねと見なしたときのばね定数は2倍になります。
並列の場合は単純に足すだけです。
ばねは伸びにくくなります。
これはばねが太くなったことにたとえられます。
ばねは太い方が伸びにくいです。
343: 2017/10/16(月)06:16 AAS
フックの法則はバネだけに成り立つ法則ではありません。
身の回りにある物体すべてに成り立ちます。
別な言い方をすれば、「す べてのものはバネである」と言っていいのです。
考えてみるとこれはすごいことです。
非常に幅広く成り立つ普遍的な法則といえるわけです。
なぜそんなに普遍的に成り立つのかというと、物質の構成要素である原子や分子の間に働く力に「フックの法則」が成り立っているから と考えられます。
344: 2017/10/16(月)06:19 AAS
有限要素法の構造解析では、基本的にKu=fというバネの公式を用います(ここで、Kはバネ定数、uは変位、fは荷重)。
ただし、その中身はマトリクスの形式で表されていて一見複雑ですが、やっていることはバネの公式と何ら変わりがありません。
[K]｛u}＝{f}
これが、有限要素法で最終的に解く式になります。
変な括弧が付いている他はバネの公式と同一です。
[ ]はマトリクスであることを表し、{ }はベクトルであることを表しています。
345: 2017/10/16(月)06:22 AAS
[K]は剛性マトリクスと呼びます。
要素一つについての関係を表す場合には要素剛性マトリクス、解析モデル全体について重ね合わせたものを全体剛性マトリクスと呼びます。
{u}は変位ベクトルと呼び、それぞれの節点の変位になります。
これは拘束条件の入力にも用いますが、解析で求める値そのものになり、コンピュータはこれを求めるためにCPU時間のほとんどを使用します。
{f}は荷重ベクトルで荷重条件を設定した場合、各節点に対応した荷重値がここに入力されます。
この辺の詳しいところは境界条件の設定の項で詳しく説明します。
346: 2017/10/16(月)06:26 AAS
つまり、フックの法則の式を、マトリクスとベクトルを使って表記したもの、これが有限要素法の基本式
[K]｛u}＝{f}
何を求めたいかといえば、変位ベクトル｛u}を計算して求めたい。
347: 2017/10/16(月)23:17 AAS
[K]剛性マトリクス
{f}は荷重ベクトル
この２つが分かれば、変位ベクトル{u}も出てくる
348: 2017/10/16(月)23:25 AAS
バネを引っ張るとか押すと長さが伸びたり縮みます。
伸び縮みの大きさはバネ定数に反比例し、バネに加えた荷重に比例します。
身の回りのモノはすべて、バネ、つまり弾性体と考えることができます。
変形は外力の大きさに比例し物体の剛性に反比例します。
物体の変形が外力および剛性と比例関係にある場合を線形(linear)といいます。
線形的な静的挙動を表す物体を有限要素法で表すと、[K]{u}={F}という行列方程式の問題に変換できます。
349: 2017/10/16(月)23:28 AAS
つまり、平たく言えば、剛性マトリクスは変形に対する物体の強さ
荷重ベクトルは物体にかかる荷重の大きさ
そして、求めたい変位ベクトルは、変形の大きさということになる
350: 2017/10/16(月)23:30 AAS
このうち、荷重ベクトルは物体にかかる荷重の大きさなのだから、これは設定次第。
境界条件の設定で決まる。
あとは、剛性マトリクスが決まればいい。
351: 2017/10/17(火)00:13 AAS
変位がわかれば、ひずみもわかる
ひずみが分かれば、応力も出る
だから、変位を求めることが第一目標
352: 2017/10/17(火)00:14 AAS
まずは、なんといっても、フックの法則
それが基本
中学の理科のレベルだけど、ここが一番大事
353: 2017/10/17(火)00:16 AAS
[K]｛u}＝{f}
↑これが、フックの法則の行列表現
行列とベクトルが使われるからには、一応、高校の数学のレベルだ
この式をもとにして、変位ベクトル｛u}を求めるのが第一目標
354: 2017/10/17(火)00:29 AAS
節点の変位を求めたい
そのために必要なのは、節点の剛性マトリクス
355: 2017/10/17(火)00:31 AAS
フックの法則までは、中学生でもわかる
それがなんで行列になるのかについて、中学生に説明するのは難しい
356: 2017/10/17(火)00:42 AAS
それには、まず、「節点の自由度」という話をしなければならない
節点に生じる変位の方向には、水平・垂直・回転の三つがある
つまり、１つの節点につき、3つの自由度がある。
357: 2017/10/17(火)00:49 AAS
でも、だからといって、節点が5つあれば、5×3で15の節点があるかっていったら、そういうわけでもない
たとえば、ピン支点では、鉛直方向と水平方向に固定され、回転だけ自由になっている
つまり、節点がピン支点になっている場合は、自由度が1つしかない
こんな具合にして、自由度の数を数える
ここでいう自由度の数、それこそが、求めるべき未知数の数ということになる
358(1): 2017/10/17(火)00:58 AAS
でもって、自由度の数がたとえば8個だとすると、どうなるか?
[K]｛u}＝{f}
のベクトル ｛u} と {f} のカッコ内にある要素数が、それぞれ8個になる
｛u}ｔ ＝ ｛u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8}
｛f}ｔ ＝ ｛f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8}
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