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ワンピース強さ議論と雑談スレ701 (1002ﾚｽ)
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(ｽﾌﾟﾌﾟ Sd1f-+xba)
2018/04/16(月)15:47
ID:cujJJIEWd(1)
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16: (ｽﾌﾟﾌﾟ Sd1f-+xba) [] 2018/04/16(月) 15:47:50 ID:cujJJIEWd エネル帰納法（すうがくてききのうほう、英: mathematical induction）は自然数に関する命題 P(n) が全ての自然数 n に対して成り立っている事を証明するための、次のような証明手法である P(1) が成り立つ事を示す。任意の自然数 k に対して、「P(k) ⇒ P(k + 1)」が成り立つ事を示す。以上の議論から任意の自然数 n について P(n) が成り立つ事を結論づける。 上で1と2から3を結論づける所が数学的帰納法に当たる。自然数に関するペアノの公理の中に、ほぼ等価なものが含まれている。 なお、数学的「帰納」法という名前がつけられているが、数学的帰納法を用いた証明は帰納ではなく、純粋に自然数の構造に依存した演繹論理の一種である。 2 により次々と命題の正しさが"伝播"されていき、任意の自然数に対して命題が証明されていく様子が帰納のように見えるためこのような名前がつけられたにすぎない。 直観的説明編集 高校の教科書等の初等的な解説書ではドミノ倒しに例えて数学的帰納法を説明しているものも多い。P(n) を「n 枚目のドミノが倒れる」の意味だとすれば、上の論法は以下のようになる 1枚目のドミノが倒れる事を示す。任意の自然数 k に対して、「k 枚目のドミノが倒れるならば k + 1 枚目のドミノが倒れる」ことを示す。以上の議論から全てのドミノが倒れる事が結論づけられる。 数学的帰納法が成り立つ直観的理由は以下の通りである。まず1より (a) P(1) が正しい事が分かる。次に k = 1, 2, ... に対して 2 を適用する事で、 (b) P(1) ⇒ P(2),(c) P(2) ⇒ P(3),… が分かる。(a), (b) より、P(2) が成り立ち、この事実と (c) を組み合わせる事により P(3) が従う。以下同様に P(4), P(5), …も従い、結局 3 の 全ての自然数 n に対し P(n) が成り立つ が結論づけられる。 ただし、以上の議論はあくまで数学的帰納法が成り立つ理由の直観的説明であって、1, 2 と 3 の間にはギャップがある。詳しくは後述の「数学的帰納法の形式的な取り扱い」の項目を参照されたい。 バリエーション編集 数学的帰納法には次のようなバリエーションもあり、場合によってはこれらを用いる必要がある。これらのバリエーションの正しさは、上で述べた標準的な形の数学的帰納法を用いて示すことができる。 1以外から始める編集 変数変換によって明らかなように、変数 n が表す範囲は n → n + 1 という操作で閉じていれば {1, 2, ...} である必要はなく、0 を自然数に含めることにしたり、あるいは任意の整数 m に関する {m, m + 1, ...} という範囲でもよいことになる。 +1以外編集 例えば n → n + 1 ではなく、n → n + 2 で証明し、開始点が P(2) であれば、全ての正の偶数で証明できる。バリエーションとしては、P(2) から n → n + 2 で正の偶数を証明し、 P(1) から n → n + 2 で正の奇数を証明し、よって全ての自然数で成立するという証明方法もある。 他にも、P(0) から n → n + 1 と n → n − 1 を両方証明し、全ての整数で成立することを証明するというのもある。 http://matsuri.5ch.net/test/read.cgi/wcomic/1523856409/16
エネル帰納法すうがくてききのうほう英 は自然数に関する命題が全ての自然数に対して成り立っている事を証明するための次のような証明手法である が成り立つ事を示す任意の自然数に対して が成り立つ事を示す以上の議論から任意の自然数についてが成り立つ事を結論づける 上でとからを結論づける所が数学的帰納法に当たる自然数に関するペアノの公理の中にほぼ等価なものが含まれている なお数学的帰納法という名前がつけられているが数学的帰納法を用いた証明は帰納ではなく純粋に自然数の構造に依存した演論理の一種である により次と命題の正しさが伝播されていき任意の自然数に対して命題が証明されていく様子が帰納のように見えるためこのような名前がつけられたにすぎない 直観的説明編集 高校の教科書等の初等的な解説書ではドミノ倒しに例えて数学的帰納法を説明しているものも多いを枚目のドミノが倒れるの意味だとすれば上の論法は以下のようになる 枚目のドミノが倒れる事を示す任意の自然数に対して枚目のドミノが倒れるならば 枚目のドミノが倒れることを示す以上の議論から全てのドミノが倒れる事が結論づけられる 数学的帰納法が成り立つ直観的理由は以下の通りであるまずより が正しい事が分かる次に に対して を適用する事で が分かる よりが成り立ちこの事実と を組み合わせる事によりが従う以下同様に も従い結局 の 全ての自然数に対しが成り立つ が結論づけられる ただし以上の議論はあくまで数学的帰納法が成り立つ理由の直観的説明であって と の間にはギャップがある詳しくは後述の数学的帰納法の形式的な取り扱いの項目を参照されたい バリエーション編集 数学的帰納法には次のようなバリエーションもあり場合によってはこれらを用いる必要があるこれらのバリエーションの正しさは上で述べた標準的な形の数学的帰納法を用いて示すことができる 以外から始める編集 変数変換によって明らかなように変数が表す範囲は という操作で閉じていれば である必要はなくを自然数に含めることにしたりあるいは任意の整数に関する という範囲でもよいことになる 以外編集 例えば ではなく で証明し開始点がであれば全ての正の偶数で証明できるバリエーションとしてはから で正の偶数を証明し から で正の奇数を証明しよって全ての自然数で成立するという証明方法もある 他にもから と を両方証明し全ての整数で成立することを証明するというのもある
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