[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)

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975: １３２人目の素数さん [sage] 2007/05/05(土) 22:02:31 >972 [3241] 　a,b,c は実数で、a^2 +b^2 +c^2 =9 とするとき、次を示せ。 　　3･min{a,b,c} ≦ 1 + abc. 　　等号成立は min=-1, others=2 のとき. Answer. min{a,b,c} = c としても一般性を失わない。cを固定して(a,b)平面で考える。 題意より、円周 a^2 +b^2 = 9-c^2 のうち a≧c, b≧c の部分を考える。 〔補題〕 　　a,b ≧c≧0 のとき　ab ≧ c√(a^2 +b^2 -c^2) = c√(9-2c^2). (略証) 　(ab)^2 - (c^2)(a^2 +b^2 -c^2) = (a^2 -c^2)(b^2 -c^2) ≧0. (終) ・c≦0 のとき 　　相加･相乗平均で　ab ≦ |ab| ≦ (a^2 +b^2)/2 = (9-c^2)/2. 　　3c ≦ 3c + (1-c/2)(1+c)^2 = 1 +c(9-c^2)/2 ≦ 1 + abc, 　　等号成立は a=b=2, c=-1 のとき. ・0≦c≦1.4 のとき 　　補題より ab/c ≧ √(a^2 +b^2 -c^2) = √(9-2c^2) ≧ (3/2)^2, 　　3c ≦ 1 + (3c/2)^2 ≦ 1 + abc, ・√(3/2) ≦c≦√3 のとき 　　(c^2)(9-2c^2) = 9 + (3-c^2)(2c^2 -3) ≧ 9, 　　ab ≧ c√(9-2c^2) ≧ 3, 　　3c ≦ 1 + 3c ≦ 1 + abc. きょうは子どもの日だ… フｩハｧ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/975

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