[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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38(6): 05/01/26 21:13 AAS
[前スレ.871(1)]
x,y,z,n≧0 のとき F_n = (x-y)(x-z)x^n +(y-x)(y-z)y^n +(z-x)(z-y)z^n ≧0.
は、シュプリンガーの『不等式』にある定理80でつね。[前スレ.874]で解決.
399(11): 2005/08/17(水)22:43 AAS
>372(4), 387-388
>>38 の補題を使いますた。>>1 の参考書[1]の定理80.
【補題】
F_n ≡ (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) +(c^n)(c-a)(c-b)
= (a^n)(a-b)^2 + (a^n -b^n +c^n)(a-b)(b-c) +(c^n)(b-c)^2 ≧0.
(略証) bがa,cの中間にあるとすると、 a^n -b^n +c^n ≧0, (a-b)(b-c)≧0. (終)
(左辺) = (s^3 -3st+6u)^2 = (s^3 -3st+6u)(F_1 +st-3u).
(左辺) -(右辺) = (s^3 -3st+6u)･F_1 -su･F_0 = F_4 + u･F_1 + R.
F_0 = s^2 -3t ≧0, F_1 = s^3 -4st +9u ≧0.
残りの項Rも同様にして
省7
401(5): 2005/08/17(水)23:40 AAS
>>399
ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!
(4)の右辺にコーシー使ったら(3)になるなんて気づきませんでした ( ﾟ∀ﾟ)！
>>38
F_n ≡ (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) +(c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0 について。
〔Schurの不等式〕
任意の実数 r と、正の数 x, y, z に対して
F_r ≡ (a^r)(a-b)(a-c) + (b^r)(b-c)(b-a) +(c^r)(c-a)(c-b) ≧ 0
証明は、>>1 の参考書[3]のPP.27-28。
513(4): 2005/12/21(水)01:26 AAS
>504
f(x) = 1/sqrt(x) は f>0 f'<0, f">0 を満足する。
よって Jensen により
(左辺) = a･f(b+c) +b･f(c+a) + c･f(a+b) ≧ s･f(2t/s).
ここに、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいた。
補題↓により t≦s だから
s･f(2t/s) ≧ s･f(2) = (右辺).
ぬるぽ
〔補題〕a,b,c>0 a+b+c+abc=4 ならば ab+bc+ca ≦ a+b+c.
(略証)
省6
691: 2006/04/26(水)01:31 AAS
>690
(a^3 +b^3 +c^3 +3)S ≧ (a+b+c)^2.
から
(3+3*8)S ≧ (a+b+c)^2.
を出すところがムズイ...
解答.
a^3 +b^3 +c^3 + (15/4)abc ≧ (1/4)(a+b+c)^3.
(左辺) - (右辺) = (3/4){(a^3 +b^3 +c^3) - (a^2)(b+c) - (b^2)(c+a) - (c^2)(a+b) -2abc} + (15/4)abc
= (3/4){ (a^3 +b^3 +c^3) - (a^2)(b+c) - (b^2)(c+a) - (c^2)(a+b) + 3abc }
= (3/4){ a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) }
省6
897(1): 2006/12/29(金)14:21 AAS
>896
[129]
40番
a,b,c≧0, a+b+c = s とする。
(左辺) = s(ab+bc+ca) -abc = (1/4)(s^3 -F_1 -3abc) ≦ (1/4)s^3.
ここに F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) ≧ 0. (←Schur不等式) >>38 >>399-401
等号は (a,b,c) = (s/2,s/2,0) のとき。
921: 2007/02/01(木)01:13 AAS
>915 (2) は解凍月の希ガス
>915 (3)
[前スレ.858] に習い 基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。
⊿ = {(左辺) - (9/4)} * 4(st-u)^2
= 4t{[(z+x)(x+y)]^2 + [(x+y)(y+z)]^2 + [(y+z)(z+x)]^2} -9(st-u)^2
= 4t{(x^2 +t)^2 + (y^2 +t)^2 + (z^2 +t)^2} -9(st-u)^2
= 4t{(x^4 + y^4 + z^4) + 2t(x^2 + y^2 + z^2) + 3t^2} -9(st-u)^2
= 4t{(s^4 -4s^2･t + 4su + 2t^2) + 2t(s^2 -2t) + 3t^2} -9(st-u)^2
= 4t{s^4 -2s^2･t + 4su + t^2} -9(st-u)^2
= 4ts^4 -17(st)^2 +34stu +4t^3 -9u^2
省8
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