[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第３章 (1001ﾚｽ)
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462(1): 2008/08/22(金)07:30 AAS
>>459
ｘ＾ｘは単調増加ではない。
463: 2008/08/22(金)11:48 AAS
>>462
ですよね
464: 2008/08/22(金)17:44 AAS
cosxと(sinx)^tanxのグラフを書いて・・・
力技過ぎるか
465: 2008/08/22(金)18:17 AAS
対数とって考えてみるか・・・
466(2): 2008/08/22(金)21:43 AAS
f(θ) =log (cosθ)^(cosθ) -log (sinθ)^(sinθ)
を微分したら単調性は自明。
多分 0 < θ < π/4 の条件はもっと弱くできると思う。
467: 466 2008/08/22(金)21:45 AAS
最後の1行は勘違い。
468: 466 2008/08/22(金)21:49 AAS
全部勘違いだ〜
469(1): 2008/08/23(土)00:41 AAS
>>460(1)解説よろ
470(1): 2008/08/23(土)07:00 AAS
>>458
0≦t≦1 とする。
f(t) = (1/2)log(1+t^2) + log(1/√2)･t,
とおくと
f(0) = f(1) = 0,
f "(t) = (1-t^2)/(1+t^2)^2 ≧0,
f(t) ≦ 0 (0≦t≦1)
t=tanθ とおいて
log(cosθ) ≧ tanθ･log(1/√2),
cos(x) >0 を掛けて
省1
471: 2008/08/23(土)07:36 AAS
>>460(1) ,>>469
(左辺) - (右辺) = a1･x1(1-x1) + a2･x2(1-x2) + a3･x3(1-x3)
= a1･x1(x2+x3) + a2･x2(x3+x1) + a3･x3(x1+x2)
= (a1+a2)x1･x2 + (a2+a3)x2･x3 +(a3+a1)x3･x1 ≧0,
>>460(2)
2x=u^2, y=v^2 とおく。
(k^2)(u^2 + v^2) - (u/√2 + v)^2 = (k^2 -1/2)u^2 -(√2)uv + (k^2 -1)v^2,
が常に≧0である条件は相異なる2実根をもたないこと。
判別式 D' ≦0,
D' = 1/2 - (k^2 -1/2)(k^2-1) = (k^2)(3/2 - k^2),
省1
472: 2008/08/23(土)09:16 AAS
>>470
見事な攻撃だ、たけちゃんまん。
ｆ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示すより、ｆ（ｔ）≧ｈ（ｔ） かつ ｈ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示す方が簡単な ｈ（ｔ） を作ってくる眼力には脱毛だぁ
473(1): 2008/08/23(土)21:54 AAS
>>454
f(x) = sin(x) - x + (1/6)x^3,
とおくと
f '"(x) = -cos(x) +1 ≧ 0,
これと f "(0) =0 から,
x･f "(x) = x{-sin(x) +x} > 0,
これと f '(0) =0 から,
f '(x) = cos(x) -1 +(1/2)x^2 > 0,
これと f(0) =0 から,
x･f(x) > 0,
省8
474(1): 2008/08/23(土)23:55 AAS
>>473
マクローリンの ３次＋剰余項 で自明でないの。
475: 2008/08/24(日)00:10 AAS
>>474
ええじゃん。
476(1): 2008/08/24(日)00:14 AAS
誰か>>456をお願いします
477(2): 2008/08/24(日)03:29 AAS
通約可能って意味を教えてくんなませ
はーでぃの本でいきなりつまったwww
478(1): 2008/08/25(月)01:52 AAS
>>477
ネタ？
何ページ？
479: 2008/08/26(火)22:46 AAS
>>456って右辺は ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(9t^2)｝ にならないかな？
勿論 exp｛-4/(9t^2)｝ ≦ exp｛-4/(81t^2)｝ なんだけど。
おらの勘違い？
480: 2008/08/26(火)23:05 AAS
>>477
通約可能ってのは例えば 4/6 が = 2/3 と直せたり
(x^2 - 1)/(x^2 + 2x - 3) が
= [(x + 1)(x - 1)]/[(x - 1)(x + 3)] = (x + 1)/(x + 3) と直せたりするように
分母分子に共通の因子があることだけど。
そういう意味で言ってるの？
もしかして不等式の専門書では通約可能という言葉を
難しい意味で使うのかな、とも思ってレス控えてたけど。
Hardyの本って「不等式」のこと？もしかして「数論入門」のほう？
481: 2008/08/27(水)07:48 AAS
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
2chｽﾚ:math より。
937 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 19:55:34
a,b,cをabc=1を満たす正の実数とする。次の不等式を示せ。
(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1
945 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:40:11
abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y}
題意より、-x+y+z, x-y+z, x+y-z のいづれか2つの和は正だから、
正でないのは高々１つだけ。
省7
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