[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第５章 (1001ﾚｽ)
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104(1): 2011/01/29(土)23:46 AAS
微積？
102って相加相乗の拡張ぽいけど。
105(1): 2011/01/30(日)00:13 AAS
>>103
斎藤の線形代数演習
106(4): 2011/01/30(日)01:22 AAS
>>102
Q1=tx.A.x>>0
Q2=tx.B. x>>0 ｘはn次元ヴェクター
A または Bのいづれかが、正定あれば、（Aとする）
適当な T 正則マトリクス,が存在して
線形変換ｘ＝Tｙにより
Q1=ty.E.ty
Q2=ty.L.y ：L=対角マトリクス：Bも正定だからL>>0
((Q1+Q2)/2)^2=(ty((E+L)/2)y)^2 =Sigma{i}(yi^2(1+Li))^2
Q1Q2=ty.y.ty.L.y=Sigma{i}yiLi
省5
107(4): 2011/01/30(日)01:41 AAS
x,y,z≧0のとき
(x^3+y^3+z^3)^4≧(x^4+y^4+z^4)^3
108: 2011/01/30(日)04:42 AAS
>>107
x^4 =X, y^4 =Y, z^4 =Z, 3/4 =p とおくと、与式は
X^p + Y^p + Z^p ≧ (X+Y+Z)^p,
これは >>67 (2) の形だから、>>76 と同様にして示せる。
109(1): 2011/01/30(日)04:50 AAS
>>103
下らんごくごく普通の関数解析の本に、そのような話題は嫌というほど載っている。
もはやそれらは楽しいリー群(位相群)やフーリエ解析などに昇華されている。
110(1): 2011/01/30(日)05:07 AAS
>>103
ハーディー・リトルウッドの「不等式」がおすすめだ。
これがモデルになった関数解析(フーリエ解析)の本がある位だ。
111(1): 108 2011/01/30(日)05:35 AAS
>>107 (訂正)
これは、>>62 の形だから････
112: え(⌒▽⌒)？ 2011/01/30(日)10:34 AAS
y=e^x
113(6): 2011/01/31(月)00:26 AAS
〔問題〕
A, Bを2次の実対称行列とするとき、次の不等式を示せ。
tr(exp(A+B)) ≦ tr(exp(A))･tr(exp(B)),
ただし、exp(X) = E + Σ[n=1,∞) (1/n!)X^n, (Ｅは単位行列)
(注意)
A,Bが交換可能ならば等式になりますが、AB≠BA のときには一般に不等式になります。
この結果は一般にA,Bがn次対称行列のときにも正しいのですが、2次のときなら、腕づくで計算してもできます。
数セミ増刊「数学の問題 第２集」No.96, 日本評論社 (1978)
114: 2011/01/31(月)00:59 AAS
>>113
荒木不二洋 先生（元･京大、RIMS）の名作だな。
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
115(1): 2011/01/31(月)15:43 AAS
>>106
>適当な T 正則マトリクス,が存在して
>線形変換ｘ＝Tｙにより
>
>Q1=ty.E.ty
>Q2=ty.L.y ：L=対角マトリクス：Bも正定だからL>>0
A,B は非可換だから、一般に同時対角化は出来ないのでは？
116(1): 2011/01/31(月)16:51 AAS
>>115
> A,B は非可換だから、一般に同時対角化は出来ないのでは？
はい。
A,B が同時対角化できるための必要十分条件は AB=BA（可換）なので、
>>106の証明は誤りです。
これが出来てしまうと>>113は等号になってしまいますから・・・
117(1): 2011/01/31(月)17:00 AAS
>>103
一般的には、作用素環のノルム不等式と言われる分野ですかね。
もちろん、行列環だけでなくもっと一般的な物を扱っています。
一般論はコンヌなどの非可換幾何などとも関係して難しいです。
118: 仙石６０ 2011/01/31(月)17:22 AAS
>>113
AB=BA ならば
Exp(A+B)=Exp(A)Exp(B) だから Tr(Exp(A+B))=Tr(Exp(A)Exp(B))=Tr(Exp(B)Exp(A))
Tr(Exp(A)Exp(B))=<Tr(Exp(A))Tr(Exp(B)) ですか？
つまりTr(A.B)=<Tr(A)Tr(B) というわけですね？
119(1): 仙石６０ 2011/01/31(月)17:33 AAS
>>116
>>106の証明は誤りです。
実の対称マトリクスについては同時対角は可能ではないのですか？
（証明を見たようなきがするのだが。。。。自信ない）
A,Bがエルミートで一方が正定であれば同時対角化（Lamda,En)が可能であるというのは
よく使ったような気がする。（正定の定義が違うのかな？）
120(1): 2011/01/31(月)20:10 AAS
>>119
> 実の対称マトリクスについては同時対角は可能ではないのですか？
違います。
実際、AとBが同時対角化されたとします。
つまり、ある１つの直交行列 T が存在して、T^t A T, T^t B T が対角行列になる。
対角行列同士は交換可能なので、T^t A T と T^t B T は交換可能です。
つまり、
(T^t A T)・(T^t B T) = (T^t B T)・(T^t A T)
が成り立ちますが、Tは直交行列なので T^t T = Eより、
T^t AB T = T^t BA T
省2
121(1): 仙石６０ [hh] 2011/01/31(月)20:28 AAS
対角化の意味ですが、
E、と Lamda＝固有値マトリクス のふたつを意味しているのですが。
122: 2011/01/31(月)20:43 AAS
>>121
何を言いたいのか全く分かりません。
>>103の証明を書いた >>106は以下の事実が間違っています。
A,Bを一般の正定値対称行列に対して
> Q1=tx.A.x>>0
> Q2=tx.B. x>>0 ｘはn次元ヴェクター
>
> A または Bのいづれかが、正定あれば、（Aとする）
> 適当な T 正則マトリクス,が存在して
> 線形変換ｘ＝Tｙにより
省3
123(1): 仙石６０ [hh] 2011/01/31(月)20:46 AAS
正定マトリクスの定義 （x*）Ax>>0 for all x not zero
2個の実対称マトリクスA、Bについての2次形式
Q1=TxAx,Q2=TXBX とする。
Aが正定ならば、適当な正則マトリクスによる線形変換ｘ＝Tyにより新変数ｙについて
2次形式がｙの各成分の2乗項だけをふくむ
Q1=ty ｙ、Q2=ty L y L:対角まとりくす
とあらわせる
証明 略
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