[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第５章 (1001ﾚｽ)
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58(1): 2011/01/14(金)00:12 AAS
>>57
〔問題〕
nを自然数、 0≦x≦1 を実数とするとき、
{x + n(1-x)}{x + (1-x)/n}^2 の最大値を求めよ。
hint:
{x+n(1-x), [nx+(1-x)]/2, [nx+(1-x)]/2} の相加平均は (n+1)/3,
59: 2011/01/14(金)05:00 AAS
１≦ｉ≦ｎ。
（ｉ−１）（ｉ−ｎ）≦０。
ｎ≦ｉ（ｎ＋１−ｉ）。
１／ｉ≦（ｎ＋１−ｉ）／ｎ。
Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
≦Σ（ｉａ（ｉ））Σ（（（ｎ＋１−ｉ）／ｎ）ａ（ｉ））＾２
＝Σ（ｉａ（ｉ））（（（ｎ＋１）／ｎ）Σ（ａ（ｉ））−（１／ｎ）Σ（ｉａ（ｉ）））＾２
≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。
60: 2011/01/16(日)05:00 AAS
Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
≦Σ（（ｎ＋１−ｎ／ｉ）ａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
＝（（ｎ＋１）Σ（ａ（ｉ））−ｎΣ（ａ（ｉ）／ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。
61: 2011/01/16(日)08:21 AAS
>>57-58 出題元：
2chｽﾚ:math ,368
数オリスレ２０
2chｽﾚ:math
初等整数論の問題２
62(4): 2011/01/18(火)22:52 AAS
x > 0 、 y > 0 、 0 < p < 1 のとき、 (x+y)^p < x^p + y^p を示せ
63(3): 2011/01/18(火)23:01 AAS
>>62
成り立たねーぞボケ
64: 2011/01/19(水)01:21 AAS
>>63
ﾆﾔﾆﾔ…
65(2): 2011/01/19(水)02:34 AAS
x^p+y^p-(x+y)^p
x^p+t^p*x^p-(1+t)^p*x^p
=x^p*(1+t^p-(1+t)^p)
>>0
66(2): 2011/01/19(水)02:41 AAS
もっとエレガントに解かんかい
67(3): 2011/01/19(水)05:52 AAS
>>62
私の粗末なコレクションを検索したところ、似たようなものがあった。
[1997早稲田大]-----------------------------------------------------------
x、yを任意の正の数とし、p、qを 1/p + 1/q = 1 かつ p>>1、q>>1 をみたす有理数とする。
(1) (x+y)^2 ≦ px^2 + qy^2 を示せ
(2) (x+y)^(1/p) < x^(1/p) + y^(1/p) を示せ
省2
68(1): 2011/01/19(水)05:54 AAS
>>65がわからん
69(1): 2011/01/19(水)07:18 AAS
俺も>>63と>>65がわからん
70: 2011/01/19(水)07:57 AAS
>>63
>>66
口が悪いな、直したほうがいい
71(1): ◆LANDAUL/nY 2011/01/19(水)09:46 AAS
y=txとおいてるのかな
1+t^p-(1+t)^p>>0の証明は
f(t)とおいてp<1なのでf'(t)<0だから
lim_{t→∞}f(t)>>0
ということかな?
(x^p+y^p)^(1/p)>x+y
を示す
x≧yとする
(x^p+y^p)^(1/p)≧(x^p+x^p)^(1/p)=2^(1/p)*x>>2x=x+x≧x+y
72: 2011/01/19(水)10:07 AAS
コーシーか相加相乗しか認めんぞ
73: ◆LANDAUL/nY 2011/01/19(水)10:13 AAS
普通に間違ってた
74: 2011/01/19(水)11:02 AAS
>>71
x^p+y^p≦2*((x+y)/2)^p
(x^p+y^p)^(1/p)≦2^(p-1)*(x+y)
(x^p+y^p)^(1/p)<x+y
75: 2011/01/19(水)22:23 AAS
不等式に魅せられた高校生なんですけど[13]の書籍は体系だって不等式を学ぶのに有効ですか？
76(2): 2011/01/19(水)22:54 AAS
>>62 >>66 >>68-69
1-p > 0,
x^p = x/{x^(1-p)} > x/(x+y)^(1-p),
y^p = y/{y^(1-p)} > y/(x+y)^(1-p),
辺々たす。 (終)
>>67
(1) 題意より (p-1)(q-1) = 1,
px^2 + qy^2 - (x+y)^2 = {x√(p-1) - y√(q-1)}^2 ≧ 0,
(2) 上と同様。ただし p ⇔ 1/p
77: 2011/01/23(日)06:27 AAS
>>67
(x+y)^(1/p)*(x+y)^(1/q)
= (x+y)^(1/p + 1/q)
= x+y
= x^(1/p + 1/q) + y^(1/p + 1/q)
= x^(1/p)*x^(1/q) + y^(1/p)*y^(1/q)
< x^(1/p)*(x+y)^(1/q) + y^(1/p)*(x+y)^(1/q)
= {x^(1/p) + y^(1/p)}*(x+y)^(1/q)
両辺を (x+y)^(1/q) で割って (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
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