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不等式への招待 第５章 (1001ﾚｽ)
不等式への招待 第５章 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
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58: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 00:12:11 >>57 〔問題〕 nを自然数、 0≦x≦1 を実数とするとき、 {x + n(1-x)}{x + (1-x)/n}^2 の最大値を求めよ。 hint: {x+n(1-x), [nx+(1-x)]/2, [nx+(1-x)]/2} の相加平均は (n+1)/3, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/58
59: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/14(金) 05:00:00 １≦ｉ≦ｎ。 （ｉ−１）（ｉ−ｎ）≦０。 ｎ≦ｉ（ｎ＋１−ｉ）。 １／ｉ≦（ｎ＋１−ｉ）／ｎ。 Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ≦Σ（ｉａ（ｉ））Σ（（（ｎ＋１−ｉ）／ｎ）ａ（ｉ））＾２ ＝Σ（ｉａ（ｉ））（（（ｎ＋１）／ｎ）Σ（ａ（ｉ））−（１／ｎ）Σ（ｉａ（ｉ）））＾２ ≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/59
60: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/16(日) 05:00:00 Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ≦Σ（（ｎ＋１−ｎ／ｉ）ａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ＝（（ｎ＋１）Σ（ａ（ｉ））−ｎΣ（ａ（ｉ）／ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/60
61: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/16(日) 08:21:59 >>57-58 出題元： http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287678220/238 ,368 数オリスレ２０ http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1289917753/285-311 初等整数論の問題２ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/61
62: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/18(火) 22:52:05 x > 0 、 y > 0 、 0 < p < 1 のとき、 (x+y)^p < x^p + y^p を示せ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/62
63: １３２人目の素数さん [] 2011/01/18(火) 23:01:47 >>62 成り立たねーぞボケ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/63
64: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/19(水) 01:21:33 >>63 ﾆﾔﾆﾔ… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/64
65: １３２人目の素数さん [] 2011/01/19(水) 02:34:17 x^p+y^p-(x+y)^p x^p+t^p*x^p-(1+t)^p*x^p =x^p*(1+t^p-(1+t)^p) >>0 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/65
66: １３２人目の素数さん [] 2011/01/19(水) 02:41:07 もっとエレガントに解かんかい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/66
67: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/19(水) 05:52:11 >>62 私の粗末なコレクションを検索したところ、似たようなものがあった。 [1997早稲田大]----------------------------------------------------------- x、yを任意の正の数とし、p、qを 1/p + 1/q = 1 かつ p>>1、q>>1 をみたす有理数とする。 (1) (x+y)^2 ≦ px^2 + qy^2 を示せ (2) (x+y)^(1/p) < x^(1/p) + y^(1/p) を示せ ------------------------------------------------------------------------- これって、有理数という縛りは必要なのかな？ 不等式( ﾟ∀ﾟ)ﾊｧﾊｧ… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/67
68: １３２人目の素数さん [] 2011/01/19(水) 05:54:57 >>65がわからん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/68
69: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/19(水) 07:18:39 俺も>>63と>>65がわからん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/69
70: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/19(水) 07:57:18 >>63 >>66 口が悪いな、直したほうがいい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/70
71: ◆LANDAUL/nY [] 2011/01/19(水) 09:46:33 y=txとおいてるのかな 1+t^p-(1+t)^p>>0の証明は f(t)とおいてp<1なのでf'(t)<0だから lim_{t→∞}f(t)>>0 ということかな? (x^p+y^p)^(1/p)>x+y を示す x≧yとする (x^p+y^p)^(1/p)≧(x^p+x^p)^(1/p)=2^(1/p)*x>>2x=x+x≧x+y http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/71
72: １３２人目の素数さん [] 2011/01/19(水) 10:07:52 コーシーか相加相乗しか認めんぞ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/72
73: ◆LANDAUL/nY [] 2011/01/19(水) 10:13:11 普通に間違ってた http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/73
74: １３２人目の素数さん [] 2011/01/19(水) 11:02:41 >>71 x^p+y^p≦2*((x+y)/2)^p (x^p+y^p)^(1/p)≦2^(p-1)*(x+y) (x^p+y^p)^(1/p)<x+y http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/74
75: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/19(水) 22:23:25 不等式に魅せられた高校生なんですけど[13]の書籍は体系だって不等式を学ぶのに有効ですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/75
76: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/19(水) 22:54:19 >>62, >>66, >>68-69, 1-p > 0, x^p = x/{x^(1-p)} > x/(x+y)^(1-p), y^p = y/{y^(1-p)} > y/(x+y)^(1-p), 辺々たす。 (終) >>67 (1) 題意より (p-1)(q-1) = 1, px^2 + qy^2 - (x+y)^2 = {x√(p-1) - y√(q-1)}^2 ≧ 0, (2) 上と同様。ただし p ⇔ 1/p http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/76
77: １３２人目の素数さん [sage] 2011/01/23(日) 06:27:07 >>67 (x+y)^(1/p)*(x+y)^(1/q) = (x+y)^(1/p + 1/q) = x+y = x^(1/p + 1/q) + y^(1/p + 1/q) = x^(1/p)*x^(1/q) + y^(1/p)*y^(1/q) < x^(1/p)*(x+y)^(1/q) + y^(1/p)*(x+y)^(1/q) = {x^(1/p) + y^(1/p)}*(x+y)^(1/q) 両辺を (x+y)^(1/q) で割って (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/77
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