[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第５章 (1001ﾚｽ)
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67(3): 2011/01/19(水)05:52 AAS
>>62
私の粗末なコレクションを検索したところ、似たようなものがあった。
[1997早稲田大]-----------------------------------------------------------
x、yを任意の正の数とし、p、qを 1/p + 1/q = 1 かつ p>>1、q>>1 をみたす有理数とする。
(1) (x+y)^2 ≦ px^2 + qy^2 を示せ
(2) (x+y)^(1/p) < x^(1/p) + y^(1/p) を示せ
省2
68(1): 2011/01/19(水)05:54 AAS
>>65がわからん
69(1): 2011/01/19(水)07:18 AAS
俺も>>63と>>65がわからん
70: 2011/01/19(水)07:57 AAS
>>63
>>66
口が悪いな、直したほうがいい
71(1): ◆LANDAUL/nY 2011/01/19(水)09:46 AAS
y=txとおいてるのかな
1+t^p-(1+t)^p>>0の証明は
f(t)とおいてp<1なのでf'(t)<0だから
lim_{t→∞}f(t)>>0
ということかな?
(x^p+y^p)^(1/p)>x+y
を示す
x≧yとする
(x^p+y^p)^(1/p)≧(x^p+x^p)^(1/p)=2^(1/p)*x>>2x=x+x≧x+y
72: 2011/01/19(水)10:07 AAS
コーシーか相加相乗しか認めんぞ
73: ◆LANDAUL/nY 2011/01/19(水)10:13 AAS
普通に間違ってた
74: 2011/01/19(水)11:02 AAS
>>71
x^p+y^p≦2*((x+y)/2)^p
(x^p+y^p)^(1/p)≦2^(p-1)*(x+y)
(x^p+y^p)^(1/p)<x+y
75: 2011/01/19(水)22:23 AAS
不等式に魅せられた高校生なんですけど[13]の書籍は体系だって不等式を学ぶのに有効ですか？
76(2): 2011/01/19(水)22:54 AAS
>>62 >>66 >>68-69
1-p > 0,
x^p = x/{x^(1-p)} > x/(x+y)^(1-p),
y^p = y/{y^(1-p)} > y/(x+y)^(1-p),
辺々たす。 (終)
>>67
(1) 題意より (p-1)(q-1) = 1,
px^2 + qy^2 - (x+y)^2 = {x√(p-1) - y√(q-1)}^2 ≧ 0,
(2) 上と同様。ただし p ⇔ 1/p
77: 2011/01/23(日)06:27 AAS
>>67
(x+y)^(1/p)*(x+y)^(1/q)
= (x+y)^(1/p + 1/q)
= x+y
= x^(1/p + 1/q) + y^(1/p + 1/q)
= x^(1/p)*x^(1/q) + y^(1/p)*y^(1/q)
< x^(1/p)*(x+y)^(1/q) + y^(1/p)*(x+y)^(1/q)
= {x^(1/p) + y^(1/p)}*(x+y)^(1/q)
両辺を (x+y)^(1/q) で割って (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
78(2): 2011/01/28(金)09:21 AAS
a、b、c が三角形の３辺の長さをなしながら変化するとき、
(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) のとりうる値の範囲を求めよ
79(2): 2011/01/28(金)11:10 AAS
>>78
1 ≦ (a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) < 2,
(右側)
(a^2 + b^2 + c^2) - (ab+bc+ca) = (1/2)(a-b)^2 + (1/2)(b-c)^2 + (1/2)(c-a)^2 ≧ 0,
等号成立は a=b=c (正三角形)
(左側)
2(ab+bc+ca) - (a^2 + b^2 + c^2) = a(b+c-a) + b(c+a-b) + c(a+b-c) > 0,
80: 2011/01/28(金)11:56 AAS
>>79
すっきりした証明ですね、(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
81(1): 2011/01/28(金)12:16 AAS
>>78
2011年度 東工大特別入試 第2問 [大学への数学2011年1月号P.P.56-57]
雑誌の模範解答は、３通り
（解１）
a+b+c = 2k を固定し、ab+bc+ca = t とおくと、
(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) = 4k^2/t - 2
だから、tのとりうる値を考える
三角形の成立条件から、a<k、b<k、a+b<k なので、
aを 0<a<s の範囲で固定して、k-a < b < s の範囲で、
t = - { b - (2k-a)/2 }^2 -3a^2/4 + ka + k^2
省9
82: 2011/01/28(金)19:29 AAS
本番でa=1固定で
b+c=k固定で動かした記憶
83(1): 2011/01/28(金)22:46 AAS
数学板で一番の良スレ
久しぶりに（気のせいか）上に上がってきたな
sageなかったのか？
84: 2011/01/28(金)23:10 AAS
>>83
お前と、82が上げたんだろうが！
85: 2011/01/28(金)23:18 AAS
age、sage言ってる時点でじじいだから、頭がボケていても仕方ない。
86(1): Fランク受験生 [しらんよ] 2011/01/29(土)03:13 AAS
>>79
きれいなやりかたですね。
すこしきになるのは(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca)のとりうる範囲が[1,2]
の中間の値を全部とるというのはどこで証明しているのでしょうか？
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