[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第５章 (1001ﾚｽ)
上下前次1-新

---

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

---

47(1): 2010/12/30(木)19:09 AAS
[問題]
A=(a_[ij]) を複素n次正方行列とし α_1,,, α_n を A の固有値（重複度込み）とする。
このとき、次の不等式を示せ。
　　�農[k=1,,n] |α_k|^2 ≦ �農[i,j=1,,,n] |a_[ij]|^2

また等号が成立するための必要十分条件は A が正規行列（A^* A = A A^*）である。

---

48: 2010/12/30(木)19:13 AAS
>>47
この不等式は「Shurの不等式」と呼ばれ線型代数の本などに載っていますが、
不等式の部分だけでも線型代数を使わない証明をして欲しいです。

---

49: 2011/01/03(月)02:32 AAS
〔問題961〕
自然数nに対して、
　Ｉ_n = ∫[0,(2n+1)π] {x･sin(x)/[n + sin(x)^2]} dx　とおく。
　(2n+1)π/(n+1) < I_n < (2n+1)π/n　を示せ。

外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com
　casphy - 高校数学 −修羅の刻−【難問】

---

50(1): 2011/01/06(木)23:40 AAS
a、b、c、dを正の定数とする。
不等式 s(1-a)-tb>>0
-sc＋t(1-d)>>0
を同時に満たす正の数s、tがあるとき、
2次方程式x^2-(a＋d)x＋(ad-bc)=0は-1<x<1の範囲に異なる2つの実数解をもつことを示せ。

---

51: 2011/01/09(日)06:31 AAS
>>50
　f(x) = x^2 -(a+d)x +(ad-bc),　とおく。

　判別式 D = (a+d)^2 -4(ad-bc) = (a-d)^2 +4bc > 0,
より、異なる2つの実数解をもつ。

　f((a+d)/2) = −(1/4)(a-d)^2 -bc < 0,
また、題意より
　0 < a,d < 1,
　1-a > (t/s)b > 0,
　1-d > (s/t)c > 0,
∴　f(1) = (1-a)(1-d) -bc > 0,
省2

---

52(1): 2011/01/09(日)14:17 AAS
AA省

---

53(1): 2011/01/10(月)11:49 AAS
>>52

〔Problem 352.〕
a,b,c>>0 abc≧1　のとき　
　a/{√(bc)+1} + b/{√(ca)+1} + c/{√(ab)+1} ≧ 3/2,
　　　　　　　　　　　　　　　(P.H.O.Pantoja による)
　
Math. Excalibur, Vol.15, No.3, 2010/Oct.-Dec.

---

54: 2011/01/10(月)11:53 AAS
AA省

---

55(1): 2011/01/10(月)12:16 AAS
〔Problem 357.〕
正の整数nに対し、次を満たす4整数 a,b,c,d が存在しないことを示せ。
　ad = bc,
　n^2 < a < b < c < d < (n+1)^2,

〔Problem 359.〕
次を満たすすべての実数(x,y,z)を求む。
　x+y+z ≧ 3,
　x^3+y^3+z^3 + x^4+y^4+z^4 ≦ 2(x^2+y^2+z^2),
　　　　　　　　　　　　　(M.Bataille による)
省2

---

56: 2011/01/11(火)21:32 AAS
>>55

P.359.
　x^4 + x^3 - 2x^2 = (x^2 +3x +3)(x-1)^2 + 3(x-1) ≧ 3(x-1),
等号成立は x=1 のとき。
∴　(左辺) - (右辺) ≧ 3(x+y+z-3) ≧ 0,

∴　題意の不等式が成立するのは (x,y,z)=(1,1,1) のみ。

---

57(2): 2011/01/12(水)21:00 AAS
１＜ｍ＜ｎ。
０≦ａ。
ｂ＝（ｎ−ｍ）ａ／（ｎ−１）。
ｃ＝（ｍ−１）ａ／（ｎ−１）。
ａ＝ｂ＋ｃ。
ｍａ＝ｂ＋ｎｃ。
ａ／ｍ≦ｂ＋ｃ／ｎ。

　（ｘ＋ｎ（１−ｘ））（ｘ＋（１−ｘ）／ｎ）＾２
＝（２ｎ−２（ｎ−１）ｘ）（１＋（ｎ−１）ｘ）＾２／２ｎ＾２
≦（（２ｎ＋２）／３）＾３／２ｎ＾２
省1

---

58(1): 2011/01/14(金)00:12 AAS
>>57

〔問題〕
nを自然数、 0≦x≦1 を実数とするとき、
　{x + n(1-x)}{x + (1-x)/n}^2 の最大値を求めよ。

hint:
　{x+n(1-x), [nx+(1-x)]/2, [nx+(1-x)]/2} の相加平均は (n+1)/3,

---

59: 2011/01/14(金)05:00 AAS
１≦ｉ≦ｎ。
（ｉ−１）（ｉ−ｎ）≦０。
ｎ≦ｉ（ｎ＋１−ｉ）。
１／ｉ≦（ｎ＋１−ｉ）／ｎ。

　Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
≦Σ（ｉａ（ｉ））Σ（（（ｎ＋１−ｉ）／ｎ）ａ（ｉ））＾２
＝Σ（ｉａ（ｉ））（（（ｎ＋１）／ｎ）Σ（ａ（ｉ））−（１／ｎ）Σ（ｉａ（ｉ）））＾２
≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。

---

60: 2011/01/16(日)05:00 AAS
　Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
≦Σ（（ｎ＋１−ｎ／ｉ）ａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
＝（（ｎ＋１）Σ（ａ（ｉ））−ｎΣ（ａ（ｉ）／ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。

---

61: 2011/01/16(日)08:21 AAS
>>57-58　出題元：

2chｽﾚ:math ,368
数オリスレ２０

2chｽﾚ:math
初等整数論の問題２

---

62(4): 2011/01/18(火)22:52 AAS
x > 0 、 y > 0 、 0 < p < 1 のとき、 (x+y)^p < x^p + y^p を示せ

---

63(3): 2011/01/18(火)23:01 AAS
>>62
成り立たねーぞボケ

---

64: 2011/01/19(水)01:21 AAS
>>63
ﾆﾔﾆﾔ…

---

65(2): 2011/01/19(水)02:34 AAS
x^p+y^p-(x+y)^p
x^p+t^p*x^p-(1+t)^p*x^p
=x^p*(1+t^p-(1+t)^p)
>>0

---

66(2): 2011/01/19(水)02:41 AAS
もっとエレガントに解かんかい

---

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

---

あと 935 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

---

ぬこの手 ぬこTOP 0.529s*