[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第６章 (995ﾚｽ)
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196(1): 2012/07/04(水)22:45 AAS
>>195
(1)
f(x) = x^a は下に凸だから、
{c･f(0) + x･f(x+c)}/(x+c) ≧ f(x),
{x･f(0) + c･f(x+c)}/(x+c) ≧ f(c),
辺々たすと
f(0) + f(x+c) ≧ f(x) + f(c),
197(1): 2012/07/04(水)23:09 AAS
>>196
ありがとうございます
(1)使えば2出来るのはわかりました
(3)がさっぱりです
198: 2012/07/04(水)23:28 AAS
>>197
p/q = a, xk^q = yk とおく。
199(2): 2012/07/06(金)03:27 AAS
>>189
最小値：17.1412604723691
a = 0.19140424903813
b = 0.19140424903813
c = 0.61719150192374
のとき。
200(1): 2012/07/06(金)03:56 AAS
>>199
恐れながら大佐、凡人にも理解できるように経過を辿って解説をお願いしたいと思います
201: 2012/07/06(金)22:44 AAS
199 手計算でせんか！コンピュータを使うせこいまねなんてすんな、どあほ！！
202: 2012/07/07(土)04:30 AAS
>>11
xyz=1 だから、いつものように x=b/c, y=c/a, z=a/b (a,b,c>0)とおく。
D = (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc ≧ 8abc,
{(左辺) - (3/4)}･D^2
= {(a+b)b(c+a)}^2 + {(a+b)(b+c)c}^2 + {a(b+c)(c+a)}^2 - (3/4)D^2
= (1/4)D(D-8abc) + (AAB+BBC+CCA-3ABC)
≧ 0,
ここに、A=a^2, B=b^2, C=c^2, D=(a+b)(b+c)(c+a)
203: 2012/07/07(土)04:56 AAS
>>13
{x/(1+x)}^2 = X, {y/(1+y)}^2 = Y, {z/(1+z)}^2 = Z とおく。
これらは x, y, z と同順序である。
r≧0 のとき、チェビシェフにより
(x^r)X + (y^r)Y + (z^r)Z ≧ (1/3)(x^r + y^r + z^r)(X+Y+Z)
≧ (xyz)^(r/3)･(X＋Y＋Z) (← 相加･相乗平均)
= X+Y+Z, (← xyz=1)
= （>>11 の左辺）
204: 2012/07/07(土)06:25 AAS
AA省
205(2): 2012/07/07(土)06:38 AAS
>>14
xyz=1 だから、例によって x=b/c, y=c/a, z=a/b とおく。
D ’= (a+b)(b+c)(c+a)abc = {(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}abc,
{(左辺) - (3/2)}･D '
= (ab+bc+ca)^3 -(7/2)(a+b+c)(ab+bc+ca)abc +(9/2)(abc)^2 +(ABB+BCC+CAA-3ABC)
= (1/2)(ab+bc+ca)abc･Ｆ_{-1}(a,b,c) + (1/2)(abc)^2･Ｆ_{-2}(a,b,c) + (ABB+BCC+CAA-3ABC)
≧ 0,
ここで Schur's を使った。
Ｆ_{-1}(a,b,c) = {(ab+bc+ca)^2 -3(a+b+c)abc}/(abc) ≧ 0,
Ｆ_{-2}(a,b,c) = {(ab+bc+ca)^3 -4(a+b+c)(ab+bc+ca)abc +9(abc)^2}/(abc)^2 ≧ 0,
206: 2012/07/07(土)18:11 AAS
>>188
n-m=1 の場合
{1+(x/m^2)} / {1+(x/n^2)} = 1 + (1/m^2 - 1/n^2)x/[1+(x/n^2)],
[{1+(x/m^2)}/{1+(x/n^2)}]^m > 1 + m(1/m^2 -1/n^2)/[1+(x/n^2)] > 1 + (x/n^2),
ところで n-m=1, x<n^2 から
m(1/m^2 -1/n^2)/[1+(x/n^2)] > 1/n^2,
[{1+(x/m^2)}/{1+(x/n^2)}]^m > 1 + m(1/m^2 -1/n^2)/[1+(x/n^2)] > 1 + (x/n^2),
省1
207(1): 2012/07/07(土)18:29 AAS
>>205
不等式素人だから教えてほしいんだけれど、
「xyz=1 だから、例によって x=b/c, y=c/a, z=a/b とおく。」ていうのって一つのセオリーみたいなものなの？
208: 205 2012/07/07(土)19:27 AAS
>>207
小生も不等式は素人なので分かりませんが、「小手技」はあるみたいです。
外部ﾘﾝｸ[html]:izumi-math.jp
209(3): 2012/07/12(木)13:03 AAS
For positive real numbers a_2, a_3,..., a_n with a_2a_3・・・a_n=1.
Prove that :
(a_2+1)^2(a_3+1)^3・・・(a_n+1)^n≧ n^{n}.
210: 2012/07/13(金)06:45 AAS
AA省
211: 2012/07/14(土)02:20 AAS
( ﾟ∀ﾟ)つ a_k>0 に対して、1 + a_1 + … + a_n < (1+a_1)(1+a_2)…(1+a_n) < e^(a_1 + … + a_n)
212(1): 2012/07/14(土)04:49 AAS
>>209 の改良
ラグランジュの未定乗数法で極小をさがす。
a_k = λ/(k-λ), (k=2,･･･,n)
(与式) = Π[k=2,n] {k/(k-λ)}^k,
・n=3 のとき、
λ = 6/5, a_2 = 3/2, a_3 = 2/3,
(与式) ≧ 3125/108 = 28.935185･････ > 27 = 3^3
・n=4 のとき
a_k = λ/(k-λ),
λ = {9 + [6*SQRT(11901)-81]^(1/3) - [6*SQRT(11901)+81]^(1/3)}/6
省2
213: 2012/07/14(土)22:09 AAS
>>195
(3) r＝p/q≧1, y1＝x1^q, y2＝x2^q,…≧0 として
(y1＋y2＋…)^r≧y1^r＋y2^r＋… を示す。
y1＋y2＋…＝1 の制約条件で y1^r＋y2^r＋… の最大値を求める問題にすると
ラグランジュの未定乗数法で
L＝y1^r＋y2^r＋…−λ(y1＋y2＋…−1) の最大は
∂L/∂y1＝r y1^(r−1)−λ＝0 ∴ y1^(r−1)＝y2^(r−1)＝…＝λ/r
∴ y1＝y2＝…＝1/n
y1^r＋y2^r＋…＝n(1/n)^r＝1/n^(r−1)≦1＝1^r＝(y1＋y2＋…)^r
214(1): 2012/07/15(日)07:27 AAS
>>209 の改良
L = Σ[k=2,n] {k･log(a_k + 1) - λ･log(a_k)},
∂L/∂a_k = k/(a_k + 1) - λ/(a_k) = 0 より
a_k = λ/(k-λ),
(2-λ)(3-λ)･････(n-λ) = λ^(n-1), ････ 決定方程式
・n=5 のとき
(2-λ)(3-λ)(4-λ)(5-λ) = λ^4,
λ = {71 + [(42√1749261)-13411]^(1/3) - [(42√1749261)+13411]^(1/3)｝/42
= 1.54263254839049
(左辺) = 7407.43642129488 > 3125 = 5^5,
省1
215: 2012/07/15(日)09:52 AAS
>>212 >>214
決定方程式（特性方程式）
・n=3 のとき
λ^2 -(λ-2)(λ-3) = 5λ - 6,
・n=4 のとき
λ^3 +(λ-2)(λ-3)(λ-4)
= 2λ^3 -9λ^2 +26λ -24
= {(2λ-3)^3 + 25(2λ-3) + 6}/4,
・n=5 のとき
λ^4 - (λ-2)(λ-3)(λ-4)(λ-5)
省2
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