[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第６章 (995ﾚｽ)
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969: 2013/02/04(月)00:04 AAS
>>940
(z-1)(e^z - e) ≧ 0, (← 単調増加)
e^y - ey = ∫[1,y] (e^z - e)dz ≧ 0,
e^x -1 -(e/2)x^2 = ∫[0,x] (e^y - ey)dy ≧ 0, (x≧0)
>>952 (Wirtinger)
f(x) = Σ[k=1,∞) a_k sin(kx),
とフーリエ級数に展開すれば簡単だが....
970(2): 2013/02/09(土)01:46 AAS
正の実数x_1, …, x_n
x_1+x_2+…+x_n≦x_1^3/x_n^2+x_2^3/x_1+x_3^3/x_2^2+…+x_n^3/x_(n-1)^2
大数
971(2): 2013/02/10(日)05:40 AAS
〔問題〕自然数nについて、次を示せ。
Σ[k=n+1〜∞) 1/(k^2) < 1/(n +1/2),
Σ[k=n+1〜∞) 1/(k^3) < 1/{2n(n+1)},
Σ[k=n+1〜∞) 1/(k^4) < 2/{3n(n+1)(2n+1)},
casphy - 高校数学 - 不等式２ - 013〜015
972: 2013/02/11(月)00:26 AAS
>>970
コーシー不等式の拡張より
(右辺){x_n+x_1+･･･+x_(n-1)}{x_n+x_1+････x_(n-1)} ≧ (x_1+x_2+････+x_n)^3,
973(1): 2013/02/12(火)22:50 AAS
>>971
ちょっと改良....
〔問題〕自然数nについて、次を示せ。
1/(n+1) < Σ[k=n+1〜∞) 1/(k^2) < 1/(n +1/2),
1/{2n(n+1)+1} < Σ[k=n+1〜∞) 1/(k^3) < 1/{2n(n+1)},
2/{3[n(n+1)+1](2n+1)} < Σ[k=n+1〜∞) 1/(k^4) < 2/{[3n(n+1)+2](2n+1)},
974: 2013/02/13(水)23:19 AAS
有名過ぎないかね
975: 2013/02/13(水)23:57 AAS
まじ？
976: 2013/02/16(土)00:00 AAS
>>970
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....
凸不等式でもOK（じゅー）
・f(x) = x^3 は下に凸。
(右辺) = xn･f(x1/xn) + x1･f(x2/x1) + …… + x(n-1)･f(xn/x(n-1))
≧ {xn+x1+ … +x(n-1)}f((x1+x2+ … +xn)/(xn+x1+ … +x(n-1)))
= {xn+x1+ … +x(n-1)}f(1)
= {xn+x1+ … +x(n-1)},
・g(x) = 1/x^2 は下に凸。
(右辺) = x1･g(xn/x1) + x2･g(x1/x2) + …… + xn･f(x(n-1)/xn)
省3
977: 2013/02/20(水)00:22 AAS
>>971 >>973
m,n:自然数のとき
Σ[k=n+1〜∞) 1/k^(m+1) < 1/{m･(n + 1/2)^m},
978(1): 2013/02/24(日)15:15 AAS
A New Proof of Shapiro Inequality (by T. Ando)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.s.chiba-u.ac.jp
979: 2013/02/24(日)21:25 AAS
>>978
むかし読んだことがあるようなハロゲンガス
980: 2013/02/26(火)23:49 AAS
>>944 >>947
附帯条件が変更されますた。 a+b+c = 9/2.
回答期限も延期されますた(2月末)。といっても2日しかないが。
外部ﾘﾝｸ:www.fen.bilkent.edu.tr → Mathematics → Problem of the month → 2013 → February 2013
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.fen.bilkent.edu.tr
>>946
全くごもっとも。
981(2): 2013/03/01(金)08:04 AAS
今年の入試問題
画像ﾘﾝｸ[gif]:nyushi.yomiuri.co.jp
982: 2013/03/01(金)20:56 AAS
>>981
フルボッキした！
983: 2013/03/01(金)21:39 AAS
>>981
単なるベータ関数じゃんｗ
984: 2013/03/01(金)21:49 AAS
ベータ関数とガンマ関数の性質で瞬殺だな
B(x,y)= Γ(x)Γ(y)/ Γ(x+y)
Γ(x+1) =xΓ(x)
Γ(n+1)= n!
985: 2013/03/02(土)21:13 AAS
>>28
986: 2013/03/03(日)00:58 AAS
三百三十九日。
987: 2013/03/04(月)00:58 AAS
三百四十日。
988: 2013/03/04(月)22:36 AAS
>>949
〔Problem 410.〕
(略証)
(x+y)√{(y+z)(z+x)} -x(y+z) -y(z+x) = x√(y+z)･[√(z+x)-√(y+z)] + y√(z+x)･[√(y+z) - √(z+x)]
= [x√(y+z) - y√(z+x)]･[√(z+x) - √(y+z)]
= {t(x-y)/[x√(y+z) + y√(z+x)]}(x-y)･{(x-y)/[√(z+x) + √(y+z)]}
= {t/[(x+y)√{(y+z)(z+x)} +xy +t]}(x-y)^2
≧ {t/[(x+y)(x+y+2z)/2 + xy +t]}(x-y)^2 (← 相乗･相加平均)
≧ {t/(x^2 +y^2 +z^2 +2t)}(x-y)^2
= {t/(x+y+z)^2}(x-y)^2,
省2
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