[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第６章 (995ﾚｽ)
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572(2): 2012/10/08(月)22:46 AAS
>>319-324 (続き)
題意により、
(1+σ)^2 - 2t = a^2 + b^2 + c^2 = 1,
t = σ(2+σ)/2, (0≦σ≦√3 -1 < 7/9)
(左辺) = σ{σ(2+σ)/(2u) + 1},
ところで、>>571 から
u ≦ {－(1+σ)(2-5σ-2.5σ^2)＋2(1-σ-0.5σ^2)^(3/2)}／27
よって本問は次の補題に帰着する。
〔補題〕
0≦σ≦√3 -1 のとき、
省3
573(2): 2012/10/08(月)22:54 AAS
>>319-324 (続き)
〔補題〕の略証 >>572
-(1+σ)(2-5σ-2.5σ^2) ＝ -2 +3σ +7.5σ^2 +2.5σ^3,
また
(1+σ)^2 -3t ＝ 1 -σ -0.5σ^2,
√(1-σ -0.5σ^2) ≦ 1 -0.5σ -0.375σ^2,
を辺々掛けて
2･(1-σ -0.5σ^2)^1.5 ≦ 2 -3σ -0.75σ^2 +1.25σ^3 +0.375σ^4,
以上により
(左辺) ≦ σ^2･(6.75 +3.75σ +0.375σ^2)/27
省10
574: 2012/10/08(月)23:35 AAS
>>571-573
凄い！
n=3の時だけでもこんなに大変なのか！
n≧4の時は絶望的か？
575: 2012/10/09(火)20:17 AAS
>>573
> 華麗なるキャスフィーでござるよ。
労力は認めるが、華麗とは思えないなあ
576(2): 2012/10/09(火)20:18 AAS
>>325の続きマダ―
325 自分：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/09/04(火) 01:20:05.87
>>276
( ∑_[k:1->n] x_k - 1)( ∑_[k:1->n] 1/x_k + 1)
= ∑_[k:1->n] x_k ∑_[k:1->n] 1/x_k + ∑_[k:1->n] x_k - ∑_[k:1->n] 1/x_k -1
ここで、第１項はコーシー・シュワルツの不等式より、
∑_[k:1->n] x_k ∑_[k:1->n] 1/x_k ≧ { ∑_[k:1->n] 1 }^2 =n^2
また、条件 ∑_[k:1->n] (x_k)^2 = 1 より、
∑_[k:1->n] x_k ≦ { ∑_[k:1->n] (x_k)^2 }^{1/2} {∑_[k:1->n] 1^2}^{1/2} = √n
となる。
省1
577(1): 2012/10/09(火)20:52 AAS
>>576
次が分かればいいんですね
[問題]
∑_[k:1->n] (x_k)^2 = 1 を満たす x_1, x_2, ,, ,x_n >0 に対して、
∑_[k:1->n] 1/x_k の最大値を求めよ。
578(1): 2012/10/09(火)21:09 AAS
x_1→0でいくらでも
579: 2012/10/09(火)21:36 AAS
グレート・キャスフィー
村上春樹の一番のお気に入りの本。
「この小説に出会わなければ、僕は小説家になっていなかった。」とまで言わせる至上最高の作品。
（もちろん彼にとって）
580(2): 2012/10/09(火)23:13 AAS
>>576-578
２項目と３項目の最小値が問題なのでは？
[問題]
∑_[k:1->n] (x_k)^2 = 1 を満たす x_1, x_2, ,, ,x_n >0 に対して、
∑_[k:1->n] x_k - ∑_[k:1->n] 1/x_k の最小値を求めよ。
581(2): 2012/10/10(水)22:58 AAS
Given a $\triangle ABC$ with the side lengths $BC=a,\ CA=b,\ AB=c$.
Prove that :
$$\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{b+c-a}+\frac{c^2+a^2-b^2}{c+a-b}\le a+b+c$$
外部ﾘﾝｸ:suseum.jp
582(1): 2012/10/11(木)00:25 AAS
>>581
BC=a, CA=b, AB=c のとき
(a^2+b^2-c^2)/(a+b-c) + (b^2+c^2-a^2)/(b+c-a) + (c^2+a^2-b^2)/(c+a-b) ≦ a+b+c,
ですね。
a=y+z, b=z+x, c=x+y (x,y,z>0) とおく。
以下casphyで...
583: 2012/10/11(木)00:29 AAS
あまりcasphy荒らすなよ
誰も書かなくなってるじゃん
584: 2012/10/11(木)02:21 AAS
a[i]>0(i=1,2,3,...)とする。
Σ[k=1→n]1/a[k]=1のとき、Π[k=1→n](a[k]-1)≧(n-1)^nを示せ
585: 2012/10/11(木)08:05 AAS
>>582
casphyぢゃなく、こっちに書いてくだされ！
情報が分散していると整理しづらいでござるよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾆﾝﾆﾝ
586(1): 2012/10/11(木)08:09 AAS
ところで casphy の過去ログとかあるんですか？
スレは>>869
あの一つだけ？
587: 2012/10/11(木)08:12 AAS
>>586
変なのが混じった
スレは一つだけ？
588: 2012/10/11(木)09:15 AAS
スレ一覧見てると
外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.casphy.com
まあマイナー？掲示板だし2007年からのスレだし違う不等式スレは無かったんじゃない？
589: 2012/10/11(木)20:52 AAS
>>581 の解答（クロニャンコ／のんぶ）を転載
分母を
b+c-a = A ･････ (1)
c+a-b = B ･････ (2)
a+b-c = C ･････ (3)
とおく。(1) + (2) + (3) から
a+b+c = A+B+C ･････ (4)
(1),(2),(3),(4) から
a = (B+C)/2,
b = (C+A)/2,
省14
590(1): 2012/10/11(木)22:11 AAS
【AoPS forum - Inequalities ･ Art of Problem Solving】
外部ﾘﾝｸ[php]:www.artofproblemsolving.com
既出？
591: 2012/10/12(金)08:11 AAS
>>590
玉石混交で、面白いのを探すのが大変ですね ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
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