[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第６章 (995ﾚｽ)
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209(3): 2012/07/12(木)13:03 AAS
For positive real numbers a_2, a_3,..., a_n with a_2a_3・・・a_n=1.

Prove that :

(a_2+1)^2(a_3+1)^3・・・(a_n+1)^n≧ n^{n}.

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210: 2012/07/13(金)06:45 AAS
AA省

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212(1): 2012/07/14(土)04:49 AAS
>>209 の改良

ラグランジュの未定乗数法で極小をさがす。
　a_k = λ/(k-λ),　　　　(k=2,･･･,n)
　(与式) = Π[k=2,n] {k/(k-λ)}^k,

・n=3 のとき、
　λ = 6/5,　a_2 = 3/2,　a_3 = 2/3,
　(与式) ≧ 3125/108 = 28.935185･････ > 27 = 3^3

・n=4 のとき
　a_k = λ/(k-λ),
　λ = {9 + [6*SQRT(11901)-81]^(1/3) - [6*SQRT(11901)+81]^(1/3)}/6
省2

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214(1): 2012/07/15(日)07:27 AAS
>>209 の改良
　L = Σ[k=2,n] {k･log(a_k + 1) - λ･log(a_k)},
　∂L/∂a_k = k/(a_k + 1) - λ/(a_k) = 0　　より
　a_k = λ/(k-λ),
　(2-λ)(3-λ)･････(n-λ) = λ^(n-1),　････ 決定方程式

・n=5 のとき
　(2-λ)(3-λ)(4-λ)(5-λ) = λ^4,
　λ = {71 + [(42√1749261)-13411]^(1/3) - [(42√1749261)+13411]^(1/3)｝/42
　　 = 1.54263254839049
　(左辺) = 7407.43642129488 > 3125 = 5^5,
省1

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