[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第６章 (995ﾚｽ)
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324(3): 2012/09/04(火)00:30 AAS
＿ﾉ乙(､ﾝ､)＿ ﾓｳﾀﾞﾒﾀﾞ…

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571(2): 2012/10/08(月)22:34 AAS
>>273-282
>>319-324

n=3 のとき　>>458 を使って強引に解く。

基本対称式を
　a+b+c = 1+σ, ab+bc+ca = t, abc = u,
とおくと、
　u ≦ {−(1+σ)[2(1+σ)^2 -9t] ＋ 2[(1+σ)^2 -3t]^(3/2)}／27,

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572(2): 2012/10/08(月)22:46 AAS
>>319-324　(続き)

題意により、
　(1+σ)^2 - 2t = a^2 + b^2 + c^2 = 1,
　t = σ(2+σ)/2,　(0≦σ≦√3 -1 < 7/9)
　(左辺) = σ{σ(2+σ)/(2u) + 1},

ところで、>>571 から
　u ≦ {−(1+σ)(2-5σ-2.5σ^2)＋2(1-σ-0.5σ^2)^(3/2)}／27

よって本問は次の補題に帰着する。

〔補題〕
　0≦σ≦√3 -1 のとき、
省3

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573(2): 2012/10/08(月)22:54 AAS
>>319-324 (続き)

〔補題〕の略証 　　>>572
　-(1+σ)(2-5σ-2.5σ^2) ＝ -2 +3σ +7.5σ^2 +2.5σ^3,
また
　(1+σ)^2 -3t ＝ 1 -σ -0.5σ^2,
　√(1-σ -0.5σ^2) ≦ 1 -0.5σ -0.375σ^2,
を辺々掛けて
　2･(1-σ -0.5σ^2)^1.5 ≦ 2 -3σ -0.75σ^2 +1.25σ^3 +0.375σ^4,
以上により
　(左辺) ≦ σ^2･(6.75 +3.75σ +0.375σ^2)/27
省10

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