[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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615(2): 2015/06/13(土)10:21 ID:TU25QrQ9(1) AAS
スレ主さんがぐぐって、答えが載ってるpdfを教えてくれるよ
616(2): 2015/06/13(土)11:01 ID:zC+Gk8wl(2/2) AAS
すいません自己解決しました
基礎体の標数が０の場合任意の既約多項式は分離的だから。
それで、分離的な分解体は基礎体の正規拡大になるため、ってことですよね
なんかすいませんでした
617(1): 2015/06/13(土)11:33 ID:RvE/hvKY(1/2) AAS
大阪大学すげーなー
618(1): 2015/06/13(土)11:47 ID:2GDAwfby(1) AAS
阪大に奇形を飼い続ける度量があるとは思えない
619(1): 2015/06/13(土)12:45 ID:7/7wObNP(1) AAS
この問題で悩むのは どの定理を使ってよいか だな
有名な定理を無証明で使ってよいなら、特に難しい問題とも思えない
逆に実数の公理しか使えないなら、とても制限時間内に終わりそうにない
620(1): 2015/06/13(土)19:35 ID:RvE/hvKY(2/2) AAS
今日はスレ主元気ないな
621(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/13(土)20:58 ID:hlNpoH8z(9/14) AAS
外部ﾘﾝｸ:www.sci.osaka-u.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.sci.osaka-u.ac.jp
平成26年度入試 大阪大学(前期) 理学部 数学（挑戦枠）
問題１
開区間(a,b)で定義された関数f(x)の原始関数のlつをF(x)とするとき，
任意の原始関数は定数Cを用いて
F(x) + C
と表すことができる.このことを平均値の定理を用いて証明せよ.
(配点率50%)
問題２（省略）
省2
622(1): 2015/06/13(土)21:03 ID:o9szocgs(1) AAS
>>621
背筋が凍るなあ、オイ！
623(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/13(土)21:22 ID:hlNpoH8z(10/14) AAS
外部ﾘﾝｸ:www.sci.osaka-u.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.sci.osaka-u.ac.jp
平成26年度入試 大阪大学(前期) 理学部 数学（挑戦枠）
問題１
有理数は，整数，有限峨，循環峨のいずれかで表される.乙れを証明せよ
(配点率50%)
問題２（省略）下記参照
外部ﾘﾝｸ[html]:examoonist.web.fc2.com
2013年 大阪大学 理学部 挑戦枠 専門数学 先人達が歩んだ円周率の歴史を辿る〜ルドルフの偉業〜 伝説の入試問題（数学）＠受験の月
624(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/13(土)21:39 ID:hlNpoH8z(11/14) AAS
>>606
２番は省略したけど、スターリングの公式の誘導らしいね
外部ﾘﾝｸ[html]:wankora.blog31.fc2.com
わんこら日記 液晶に傷がいったら、スクリーンショットに毎回傷が写るやろ？: 【2015/03/04 03:09】
(抜粋)
二番は
言うても高校の範囲をほとんど逸脱してはない問題やな
これも、ウォリス積の証明でやったことあるわ
0≦x≦π/2で0≦sinx≦1やから
・・・
省3
625: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/13(土)21:42 ID:hlNpoH8z(12/14) AAS
訂正スマソ
>>623
平成26年度入試
↓
平成25年度入試
補足
>>624 この２番は2015年分です
626: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/13(土)21:54 ID:hlNpoH8z(13/14) AAS
>>620>>622
どうも。スレ主です。
今日は、昼間出かけていたもので、失礼しました
>>619
>有名な定理を無証明で使ってよいなら、特に難しい問題とも思えない
そういう解法では、得点はあまり貰えないんだろうね、おそらく
>>617-618
阪大に奇形を飼い続ける度量があるとは思えない；2013年から始まった試みがうまく行っているかどうかだよね
>>614-616
私には、自力で解答できる力は無いですが
省3
627: 2015/06/13(土)23:31 ID:l7HTOfjk(1) AAS
高校生でこういう問題が普通に解けたらなかなかすごいと思うわ
628(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/13(土)23:51 ID:hlNpoH8z(14/14) AAS
>>614-616
外しているかも知れないが
>べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体が基礎体の正規拡大になるって理屈がよくわからないんですが
「分解体が基礎体の正規拡大になる」は、下記によれば正規拡大の定義そのままでは？
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
体の代数拡大 L/K は、L が K[X] の多項式の族の分解体(splitting field)であるときに、正規（英: normal）という。ブルバキはそのような拡大を準ガロワ拡大(quasi-Galois extension) と呼んでいる。
他の性質
L を体 K の拡大とすると、
・ L が K の正規拡大で E が中間体（すなわち L ⊃ E ⊃ K）であれば、L は E の正規拡大である。E は K の正規拡大とは限らない。
・ E と F が L に含まれる K の正規拡大であれば、合成体 EF および共通部分 E ∩ F も K の正規拡大である。
省13
629: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)00:01 ID:Vl116sFU(1/12) AAS
訂正
>>623
有理数は，整数，有限峨，循環峨のいずれかで表される.乙れを証明せよ
↓
有理数は，整数，有限小数，循環小数のいずれかで表される.これを証明せよ
（補足：PDFのOCR読み取り機能を使ったら、文字化けした。ワードなどのスペルチェックを掛けるべきだった・・）
630(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)06:13 ID:Vl116sFU(2/12) AAS
>>628
ご参考
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
巡回群
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
（抜粋）
数学、特に群論の分野において、可解群（かかいぐん、英: solvable group）は、群の拡大を用いてアーベル群から構成できる群のことである。
有限群の場合は、同値な定義として「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」というものもある。
有限群の組成列の長さは有限であり、全ての単純アーベル群は素数位数の巡回群であるため、この定義は上の定義と同値である。
ジョルダン・ヘルダーの定理より、一つの組成列が上記の性質を持つ場合、すべての組成列は同様に上記の性質を持つことが保証される。
省15
631(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)06:45 ID:Vl116sFU(3/12) AAS
>>630 つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
ガロア理論によれば、"ガロア拡大" と呼ばれる体の代数拡大について、 拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。
より発展的な定式化
抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。
上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。
この二つを満たすような拡大は ガロア拡大 (Galois extension) と呼ばれる。
632(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)06:46 ID:Vl116sFU(4/12) AAS
>>631 つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
ガロア理論の基本定理(fundamental theorem of Galois theory)は、体の拡大の構造を記述した結果である。
定理の最も基本的な形は、有限次ガロア拡大である体の拡大 E/F が与えられると、1:1の対応が中間体とガロア群の部分群の間に存在する。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）
証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、エミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）(Emil Artin)のむしろ微妙でデリケートな結果であり、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができる。
ガロア拡大 K/F の自己同型群は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。
対応の性質
省7
633: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)07:19 ID:Vl116sFU(5/12) AAS
>>632 つづき
ガロア理論の基本定理（ガロア対応）
”体の分離かつ正規拡大（分解体(splitting field)）” VS ”H が Gal(E/F) の正規部分群”
正規の定義は、体と群で定義が違う。が、どちらも、”normal ”を使う
突然ですが和英。正規の訳にもいろいろあるが
外部ﾘﾝｸ:ejje.weblio.jp
正規 JMdict
対訳 regular; normal; formal; legal; established; legitimate
突然ですが英和。要は、”normal ”は日常語で、「正常な」という意味もある
外部ﾘﾝｸ:ejje.weblio.jp
省2
634(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)07:25 ID:Vl116sFU(6/12) AAS
>>628
ここに戻る
>べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体が基礎体の正規拡大になるって理屈がよくわからないんですが
”べき根による拡大体について
アルティンのガロア理論（ガロア対応）を既知とすると
べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体のガロア群がアーベルにならないかな？
べき根拡大は、巡回群で、アーベル群だと（下記）”
とコメントした
そのこころは、
べき根による拡大体で分解体を含む場合→べき根拡大は巡回群
省4
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