[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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628(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/13(土)23:51 ID:hlNpoH8z(14/14) AAS
>>614-616
外しているかも知れないが
>べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体が基礎体の正規拡大になるって理屈がよくわからないんですが
「分解体が基礎体の正規拡大になる」は、下記によれば正規拡大の定義そのままでは？
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
体の代数拡大 L/K は、L が K[X] の多項式の族の分解体(splitting field)であるときに、正規（英: normal）という。ブルバキはそのような拡大を準ガロワ拡大(quasi-Galois extension) と呼んでいる。
他の性質
L を体 K の拡大とすると、
・ L が K の正規拡大で E が中間体（すなわち L ⊃ E ⊃ K）であれば、L は E の正規拡大である。E は K の正規拡大とは限らない。
・ E と F が L に含まれる K の正規拡大であれば、合成体 EF および共通部分 E ∩ F も K の正規拡大である。
（引用おわり）
あと、べき根による拡大体について
アルティンのガロア理論（ガロア対応）を既知とすると
べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体のガロア群がアーベルにならないかな？
べき根拡大は、巡回群で、アーベル群だと（下記）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
冪根拡大
K を体とし、a ∈ K の任意の 1 つの冪根 α = n√a を添加する拡大 K(α)/K を K の冪根拡大 (radical extension) という。
もし K が 1 の原始 n 乗根を含むなら拡大体 K(α) は二項多項式 x^n ? a の最小分解体となり、この二項多項式は重根を持たないので拡大はガロア拡大となる。
これをクンマー拡大 (Kummer extension) と呼ぶ。クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である。
逆に n の約数 d に対し、拡大次数が d であるような巡回拡大 L/K は、K が 1 の原始 n 乗根を含むという仮定の下で、クンマー拡大である。
このことから、ある方程式が係数に対して四則演算と冪根を添加する操作を有限回繰り返すことで解ける（代数的に可解である）ならば、ガロア群は巡回群のみからなる組成列を持たなければならないことになる。
この性質は、抽象群に対して可解群の概念として定式化される。
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