現代数学の系譜11 ガロア理論を読む23 [無断転載禁止]©2ch.net

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1(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:27 ID:9cd3XTDs(1/51) AAS
旧スレが500KBオーバー間近で、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22 2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21 2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む20 2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む19 2chｽﾚ:math
同18
2chｽﾚ:math
同17
省25

2(16): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:29 ID:9cd3XTDs(2/51) AAS
（時枝問題をまだ引っ張ってます。なので、件数稼ぎを兼ねて、記事再録します）

前々スレ>>2 再録　（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）
１．時枝問題（数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

3(13): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:30 ID:9cd3XTDs(3/51) AAS
（まあ、時枝記事が書いていることが分からないと、スレの住人も困るだろうから）

２．続けて時枝はいう

　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s ～ s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
～は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/～の切断を選んだことになる.
任意の実数列S に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
省7

4(7): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:31 ID:9cd3XTDs(4/51) AAS
（趣旨は同じ）

３．つづき

問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが，とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列S^1,S^2，・・・，S^lOOを成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
　第1列～第(k-1) 列，第(k+1)列～第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
省10

5(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:32 ID:9cd3XTDs(5/51) AAS
前々スレ>>614 再録　（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）
数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある

「R^N/～の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/～の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」

さらに、前スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき，と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎，と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル，という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎，というのも早計だろう.
省1

6(7): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:32 ID:9cd3XTDs(6/51) AAS
>>6の続きを、前々スレ>>176　（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）より再録
数学セミナー201511月号P37 時枝記事より

「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
省8

8(26): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:36 ID:9cd3XTDs(8/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より再録　

656 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 15:07:32.42 ID:MokdApDK [28/44]
>>632

ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス（ Hilbert’s paradox of the Grand Hotel ）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org

を例にして補足しておく

１．ヒルベルトの無限ホテルで、A棟とB棟と二つあったとする。両棟とも、可算無限の部屋がある
２．一方、区間（０，１）に存在する有理数は可算無限だから、この有理数とA棟とをヒモ付け（全単射）できる
３．同じように、区間（１，２）に存在する有理数と、B棟とをヒモ付け（全単射）できる
４．さて、区間（０，２）存在する有理数（但し１を除く）で、A棟とB棟の全部屋を整列させることができる（∵ 実数に通常の順序を入れることができる）
省3

9(24): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:37 ID:9cd3XTDs(9/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より再録　

658 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 15:21:17.00 ID:MokdApDK [29/44]
>>656

さらに補足しておく

１．区間（０，１）で、分数列 1/2,1/3,1/4,1/5,・・・,1/n,1/(n+1),・・・　を考える。
２．この分数列と、ヒルベルトの無限ホテルのA棟の部屋番号とのヒモ付け（全単射）をする
３．お分かりのように、区間（０，１）で０に近づくほど、分数列の密度はどんどん上がっていく
４．同様に、区間（１，２）ではは、区間（０，１）を＋１平行移動させれば良い。
　つまり、分数列 1+1/2,1+1/3,1+1/4,1+1/5,・・・,1+1/n,1+1/(n+1),・・・　を考える
５．区間（１，２）で１に近づくほど、この分数列の密度はどんどん上がっていくんだよ
省2

10(21): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:38 ID:9cd3XTDs(10/51) AAS
>>9

４．同様に、区間（１，２）ではは、
　↓
４．同様に、区間（１，２）では、

11(21): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:39 ID:9cd3XTDs(11/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より再録　

673 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 22:51:45.53 ID:MokdApDK [40/44]
>>658

さらに補足しておく

１．>>658では、B棟の範囲のみランダムにシャッフルしたが、もし、A棟の例えば、1/2とか1/3とかに相当する部屋の中の数を変えると、決定番号は有限にはならないね
２．>>658では、A、B棟２棟を考えたが、棟の数は増やせる。３棟、４棟・・・と

30(13): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)10:39 ID:9cd3XTDs(30/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より再録　

527 2016/09/11(日)
>>526 つづき
再度強調しておくが、>>515に記したように、英語圏では2013年に話題になったようだ

それから２年以上、いまだPUZZLESであったりriddle（なぞなぞの意）であったりする（プロの数学者は正規の数学として取り上げない）
だから、この時枝記事は、狭義のパラドックスだよと

528 2016/09/11(日)
年表を作っておこう

１．外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
Predicting Real Numbers edited May 15 '13 Jared Mathematics Stack Exchange
省14

33(9): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)12:15 ID:9cd3XTDs(33/51) AAS
>>32
１．さて、上記のように、区間（０，２）の間には、２つの分数列
　　区間（１，２）の分数列 1+1/2,1+1/3,1+1/4,1+4/5,・・・,1+1/n,1+1/(n+1),・・・
　　区間（０，１）の分数列 1/2,1/3,1/4,4/5,・・・,1/n,1/(n+1),・・・
　　を構成することができる。
２．自然数には普通の順序が考えられて、 1+1/2,1+1/3,1+1/4,1+4/5,・・・,1+1/n,1+1/(n+1),・・・＞ 1/2,1/3,1/4,4/5,・・・,1/n,1/(n+1),・・・
　　とできて、大から小へ整列可能
　　当たり前だが、一つの可算無限数列と考えることができる
３．上記２で構成した可算無限数列に、時枝記事>>2-3の「箱がたくさん，可算無限個ある.箱」を対応するように並べることが可能だ
　　そのときに、決定番号>>3がどうなるか？
省2

34(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)12:15 ID:9cd3XTDs(34/51) AAS
>>33
・要するに、時枝記事>>2-3の決定番号>>3なる概念は、非常にあやふやだと
・で、そういうあやふや決定番号をベースに、「１００列使って確率99/100」が言えるのか？
・ここらが、時枝記事のパラドックス（一見成り立ちそうで成り立たない）のトリックのしかけだろう

35(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)12:16 ID:9cd3XTDs(35/51) AAS
>>34 補足

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
確率論的独立性

確率論において、2つの事象が独立であるというのは、ある事象と別の事象の両方が成立する確率が、それぞれの確率の積で表されることを言う。
2つの確率変数が独立であるというのは、「ある確率変数の値が一定範囲に入る事象」と「別の確率変数の値が別の一定範囲に入る事象」が、考えられるどのような「一定範囲」（「考えられる」とは通常ボレル集合族を指す）を定めても、事象として独立であることを言う。

2つの事象が独立といった場合は、片方の事象が起きたことが分かっても、もう片方の事象の起きる確率が変化しないことを意味する。2つの確率変数が独立といった場合は、片方の変数の値が分かっても、もう片方の変数の分布が変化しないことを意味する[1]。
(引用おわり)

もし、時枝記事>>2-3の解法が成り立つなら、本来は各箱の数は確率論的独立性として計算される確率とは違って、例えば確率99/100などと計算される
つまりは、従来の確率論的独立性が否定される
省7

37(3): 2016/09/18(日)13:52 ID:XxeTqnz7(1/4) AAS
>>34
極めて初歩的な事だが時枝記事で完全代表系といった場合にはR^N(あるいはR^ω)の完全代表系であることは
記事の内容から明らかである(だから省略されているといってもよい)
決定番号といった場合にはR^N(R^ω)における決定番号という意味であるから当然R^N(R^ω)の完全代表系と
R^N(R^ω)の元を用いて求められなければならない

> 非常にあやふや
あやふやに感じるのは上記のことにスレ主が気づいていないから

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
> S を自然数全体の集合 N またはその n における切片 {0, 1, 2, ... , n} とするとき、S から実数(あるいは複素数)
> への関数 a を数列と呼び、順序付けられた数の並びとして a0, a1, a2, ..., an, ... のように記す。
省12

39(27): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)14:34 ID:9cd3XTDs(37/51) AAS
>>36-37
なにを数学的にわけわからん発言してるんだよ（＾＾

>決定番号が無限大になるのは「シッポ」が長さ0の数列の場合に限るが完全代表系の定義より
>必ず「シッポ」が無限数列になることから決定番号は有限の値を取る

迎撃用に>>33とか用意して、手ぐすね引いて待ち構えているんだよね（＾＾
>>33読んでみな

引用すると
区間（０，２）の間には、２つの分数列
　　区間（１，２）の分数列 1+1/2,1+1/3,1+1/4,1+4/5,・・・,1+1/n,1+1/(n+1),・・・
　　区間（０，１）の分数列 1/2,1/3,1/4,4/5,・・・,1/n,1/(n+1),・・・
省17

43(4): 2016/09/18(日)17:31 ID:WAfL61Fo(1/3) AAS
>>39
有理数列とはNからQへの写像である。
写像f:N→Q、f(n)=1+1/(n+1)、写像g:N→Q、g(n)=1/(n+1)
に対し、fとgの”連結”はどう定義されるのでしょうか?

45(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)19:34 ID:9cd3XTDs(41/51) AAS
>>42
どうも。スレ主です。

>自然な順序で整列したこの「可算無限集合の存在」は確かに否定できないが数列ではないので数列の存在は否定できる

自然な順序で整列したこの「可算無限集合の存在」があれば、それに合わせて箱を配置できる
その箱に数を入れれば、数列が形成できる。だから、そういう数列は存在しうる

>順序を変えて 1+1/2, 1/2, 1+1/3, 1/3, ... , 1+1/n, 1/n, ... とすれば数列であり決定番号は有限の値を取る

それは一つの理屈だが、それを数学的にどう扱えるか
１．まず、「順序を変えて 1+1/2, 1/2, 1+1/3, 1/3, ... , 1+1/n, 1/n, ... とすれば」の部分をどうやって見分ける？
２．「決定番号は有限の値を取る」ようにできるとしても、決定番号が有限でない場合もあるとすれば、決定番号の平均値も有限でなくなる
３．決定番号の平均値が有限でなくなれば、確率 99/100は導けないだろう
省7

47(7): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)19:50 ID:9cd3XTDs(42/51) AAS
>>45 補足
なぜ、決定番号の存在範囲（値域）に拘るのか？　決定番号の確率分布を考える第一歩だからだ
過去レスの議論を思いだそう。下記の引用だ。

ID:/kjhINs/がTさん。ID:f9oaWn8Aはえらく確率論に詳しい人で、私が”確率論の専門家”と呼ばせて貰らっている人
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む20
532 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:15:17.47 ID:f9oaWn8A [11/13]
>>530
> 2個の自然数から1個を選ぶとき、それが唯一の最大元でない確率は1/2以上だ
残念だけどこれが非自明．
省16

48(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)19:52 ID:9cd3XTDs(43/51) AAS
要は、”確率論の専門家”さんは、”> 2個の自然数から1個を選ぶとき、それが唯一の最大元でない確率は1/2以上だ
残念だけどこれが非自明．”ってこと。私も、これに同意だ。
つまり、99/100も非自明。だから、決定番号の確率分布を考えて、99/100が導けるかどうかの検証が必要なのだと

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