現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net (716ﾚｽ)
上下前次 1-新

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

133(1): 2016/11/05(土)16:36 ID:uEkBZ7nZ(1) AAS
出題された可算個の実数がどんなふうにあっても、解答者が並べなおせばいいだけだ
このことは以前にも誰かが指摘していたが、スレ主は理解していない

134: 2016/11/05(土)19:19 ID:l70uwVZ9(1/5) AAS
今になってR^Nが分かりませんとか悪夢だろw

135(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:36 ID:DzICE8Th(26/47) AAS
>>131-133
はい、そういう主張があることは認めます
どうぞ、論文にまとめてＰＤＦにして投稿をお願いします
このスレでは、ここまでで良いでしょ

１．>>131 について：時枝記事では、>>114の２にあるように、事前に、可算無限個の数列のある番号から先のしっぽが一致する場合の同値類を類別します。
　そして、事前の同値類と類別と、１００列の数列を比較します。
　問題は、キマイラ数列をどう区別し排除するのか？　時枝記事では、不純数列は排除します。不純数列は入らないようにしますというのですね。どうやって？
　いま、ある数列Ａがあるとする。Ａは可算無限個の数列だ。しっぽの同値類分類をするという。Ａが、キマイラ数列でなく、通常の数列だとどうやって見分けるのか？

２．>>132 について：「Nと2×Nは濃度としては同じですが集合として異なります」は是として、では>>115の３にあるように、”閉じた箱を100列に並べる”という。これはN→100×Nでしょ？
　では、ビデオの逆回しのように、100×N→Nも可能では？ N→100×Nと100×N→Nと両方可能だとします。この文脈で、ぞうぞ”濃度としては同じですが集合として異なります”を数学にしてください
省1

136: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:38 ID:DzICE8Th(27/47) AAS
>>135 訂正

事前の同値類と類別と、１００列の数列を比較します。
　↓
事前の同値類の類別と、１００列の数列を比較します。

137: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:42 ID:DzICE8Th(28/47) AAS
「圏論の歩き方」第８章座談会
”下鴨：・・圏自身を代数構造として研究しようという話ですよね。この方向でもっとできることがあるし、またやらなければならない・・・”という発言

これに関連して、∞カテゴリーとか、高次圏、quasi category などがある（下記）
圏論の拡張版だね（＾＾；

外部ﾘﾝｸ:infinitytopos.wordpress.com
∞カテゴリー ? はじまりはKan拡張 2015年1月30日投稿者: infinity_topos

　以前の投稿でも書いたように，近年Jacob Lurieによる∞カテゴリー理論の進展が著しい．しかし，いまだにその理論の基礎を解説する日本語の文章は殆ど見受けられないように思われる．そこで，何回かに分けて，以下でその初歩の部分について解説をしてみようと思う．

●高次圏とは何か
　まず，高次圏の理論について解説しよう．通常の圏は対象と射を持つが，高次圏とはそれに加え”高次の射”を持つ圏の事である．例えば，2-圏とは対象と射に加え「射の射」である2-射を持つもので，3-圏は「2-射の間の射」である3-射を持つものである．
このようにして，n-圏が定義される．そのようなものの最もシンプルな具体例としては，圏の圏Catが挙げられる．圏の圏Catは対象は圏，射は関手に加え，2-射として自然変換がある．
省4

138: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:44 ID:DzICE8Th(29/47) AAS
つづき
●enriched categoryによるアプローチ
　さて，ここまで明確な定義を与えず高次圏の概念を説明してきたが，実は高次圏の問題はその定義にあった．というのも，多くの手法によって良い定義を与える努力が為されてきたが，あまり上手く行かなかったのである．例えば，古典的なものとしてはenriched category(豊穣圏)を用いた定式化があった．それを軽く説明しよう．

　まず，enriched categoryとは，大雑把にいうとHom集合にある圏Vの対象の構造が入る圏である．例えば，通常の圏はSet-enriched categoryだと考えられる．また，圏の圏CatはHom集合に関手圏としての構造が入る．このことから，次のような定義が与えられた．
　Definition.(strict n-category)
　0-圏をSetとする．n-圏とは(n-1)Cat-enriched categoryの事である．
　
　しかし，このような定義は技術的に非常に扱いずらい問題があった．その理由としては単純に射が多すぎるため，その可換性の条件などが非常に煩雑になるという訳だ．せいぜい2-圏が限界で，3-圏になるととても扱えたものではなかった．このように，多くの情報を扱う分「その情報をいかに簡略化し扱いやすくするか」という事は付随する大きな問題であった．

●∞カテゴリーの3つのモデル
　さて，Lurieの理論に話をもどそう．Higher Topos Theoryにおいて，この”(∞,1)-圏”というアイデアを実現する対象として，ある意味において同値な次の3つのモデルを導入している．
省8

139: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:45 ID:DzICE8Th(30/47) AAS
つづき

　これは最も説明しやすい．つまり，Hom集合に”空間”の構造が入っているという事である．通常の圏は，離散位相によりtopological categoryとみなすことができ，逆にtopological categoryが与えられればその”Hom空間”のΠ_0をHom集合として取ることにより”ホモトピー圏”を得ることができる．
異なるtopological categoryでも，”Hom空間”がup to homotopicで同型であれば，同じホモトピー圏を与えることが出来るという事である．次のモデルも本質的には変わらない．
　Definition.(simplicial category)
　simplicial categoryとはsimplicial setの圏に関するenriched categoryである．

　simplicial setについては何も説明していないが，実はこれはある意味で「位相空間と同値な空間概念」とみなすことが出来る．
例えば，位相空間の特異コホモロジーはDold-Kan対応によりsimplicial setのコホモロジー論の一部とみることが出来るし，特筆すべきことは位相空間の基本群，ホモトピー群と同値な理論をsimplicial set内で構成する事が出来る．
これらは，特異単体を取る関手と幾何的実現関手により同値にうつりあう．このことから，simplicial categoryがtopological categoryと「同値な枠組み」である事は感覚的に”納得”は出来るだろう．
　
　以上のモデルは比較的その”意味”について納得しやすいものだろう．しかし，Higher Topos Theoryにおいて中心的に扱われるのは，これらではなく次のquasi categoryと呼ばれるものである．
省6

140: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:48 ID:DzICE8Th(31/47) AAS
”「分かりやすさと扱いやすさのトレードオフ」は数学の様々な場面で付きまとう問題である．”か。至言かも・・・
外部ﾘﾝｸ:infinitytopos.wordpress.com
∞カテゴリーIII 投稿日: 2015年2月10日投稿者: infinity_topos
(抜粋)
　前回の二回の投稿で∞カテゴリーの一つのモデルであるquasi categoryについて解説してきた．その話によると，位相空間（の特異単体）や圏はsimplicial setの中でそれぞれ特徴づけを持ち，それらの性質を合わせたものがquasi categoryなのであった．
では，なぜsimplicial setで考える事に意味があるのか，それにはどういった優位性があるのだろうか，と考えるのは自然な疑問だろう．今回はそれに対する一つの答えを与えようと思う．

●Simplicial setの圏論的性質
　まずは，圏論的な性質から考察しよう．これに関しては，simplicial setは位相空間と比べ格段に「良い」性質を持つ事が知られている．というのも，位相空間の圏は性質が悪すぎるのだ．

　例えば，位相空間の圏はカルテシアン閉ではない．つまり，\displaystyle Hom_{\mathsf{Top}}(X\times Y,Z)\cong Hom_{\mathsf{Top}}(X,Z^Y)は成立しない．また，2つのCW複体\displaystyle X,Yの直積空間\displaystyle X\times YにCW複体の構造が入るとは入らない．
これらの問題は，前者は\displaystyle Yが局所コンパクト，後者は片方の空間が局所コンパクトなら実は成立する．しかし，では局所コンパクト空間のみ考えればよいかといえば，今度は局所コンパクト空間の圏\displaystyle \mathsf{LocCpt}は余極限について閉じない．
省3

141: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:49 ID:DzICE8Th(32/47) AAS
つづき
　話をsimplicial setに戻そう．位相空間の圏と異なり，simplicial setの圏は非常に良い圏論的な性質を持つ．それは，この圏が関手圏\displaystyle \mathsf{Set}^{\Delta^{op}}に他ならないため，\displaystyle \mathsf{Set}から多くの良い性質を引き継げる事に多くを起因する．
例えば，\displaystyle \mathsf{Set}_{\Delta}は完備かつ余完備で，カルテシアン閉でもある．また，関手圏なので極限や余極限はsectionwiseに\displaystyle \mathsf{Set}内で求めればよい．更に，これは棚から牡丹餅とも言えるが，前層の圏なので特に(Grothendieck) toposになっている．
そこで，topos理論などの少々高等な圏論を用いる事も出来る．必ずしもこれら全ての性質を使うとは限らないが，なんといっても使える手が多いのだ．

●抽象化の力
　しかし，この説明にはかなり不満も多いだろう．というのも，位相空間にはイメージのしやすさという明確な優位性がある．少々simplicial setの圏の性質が良かったところで，少なくとも位相空間に関する事は位相空間内で考えるほうが「分かりやすい」だろう．
これは圏に関してもそうだ．ある程度，圏論のイメージを掴んでいる人なら，Nerveを取らなくとも通常の圏のまま扱う方が分かりやすいに決まっている．
　
　その感覚は正しいだろう．では，わざわざなぜsimplicial setで考えるのか？それを説明するために，一つの例としてgroupoidを値に持つ(co)fibered categoryを挙げてみようと思う．古典的には，これには同値な二つの定義がある．（例えばSGA1を参照されたい．）
　Definition1.(cofibered category)
省3

142: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:50 ID:DzICE8Th(33/47) AAS
つづき
　Definition2.(cofibered category)
　\displaystyle D上のcofibered categoryとは関手\displaystyle F:C\to Dで
　(1) すべての\displaystyle c\in ob(C)とすべての射\displaystyle \eta:F(c)\to dに対して，ある射\displaystyle \tilde{\eta}:c\to \tilde{d}が存在して\displaystyle F(\tilde{\eta})=\etaが成立する，
　(2) すべての射\displaystyle (\eta:c\to c')\in Mor(C)と対象\displaystyle c''\in ob(C)に対して
\displaystyle Hom_{C}(c',c'')\to Hom_{C}(c,c'')\times_{Hom_{D}(F(c),F(c''))}Hom_{D}(F(c'),F(c''))は全単射，を満たすものをいう．

　これらの同値性はGrothendieck構成によって得られる．
　Theorem.(Grothendieck construction)
　圏同値\displaystyle \int :\mathsf{Fun}(D,\mathsf{Grpd})\cong \mathsf{Cofib}^{\mathsf{Gprd}}(D)が存在する．

　圏同値なのならどちらも同じかと思うかもしれないが，そういう訳ではない．前者は一見シンプルで分かりやすいが，2-圏的な対象であるという難しさがある．それに比べ後者は少々複雑な条件が伴うが，2-圏的な要素を排除する事に成功している．このような「分かりやすさと扱いやすさのトレードオフ」は数学の様々な場面で付きまとう問題である．
省2

143(2): 2016/11/05(土)19:50 ID:rB//53Un(2/3) AAS
>>135
> Ａが、キマイラ数列でなく、通常の数列だとどうやって見分けるのか
R^Nの元である通常の無限数列をN, N1, N2で表してキマイラ数列をN1(+)N2と表すとする

R^Nの元を用いて決定番号を求める
(1)決定番号が有限の値の場合
Aは通常の数列Nである

(2)決定番号が無限大になった場合
決定番号より小さい添字を持つ数列はN1であるから数列A=N1(+)N2から通常の数列N1を得ることができる
N1を用いて決定番号を求めれば有限の値が得られる

144: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:53 ID:DzICE8Th(34/47) AAS
外部ﾘﾝｸ:infinitytopos.wordpress.com
∞カテゴリーIV 投稿日: 2015年2月15日投稿者: infinity_topos
(抜粋)
　前回の投稿で予告したように，simplicial setの持つ様々な帰着原理について紹介しよう．

●米田、余完備、Kan拡張
　さて，まず比較的一般性の高い事実から始めよう．simplicial setの圏\displaystyle \mathsf{Set}_\Deltaは前層の圏である．そこで，前層に一般的に成立する次の基本的な定理を復習しよう．
　Theorem.
　任意の前層\displaystyle P\in \mathsf{Set}^{C^{op}}は表現可能関手の余極限\displaystyle \varinjlim_{y\downarrow P} Hom(-,c_i)と同型である．

　
証明はMacLaneなどを参照されたい．index categoryの定義を述べていないが，とりあえず「任意の前層は表現可能関手の余極限で表される」と標語的に覚えておこう．以下では単に\displaystyle P\cong \varinjlim Hom(-,c_i)と表す．
省9

145: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:56 ID:DzICE8Th(35/47) AAS
東京工業大学藤田知未ちゃん、卒業したんやろね
外部ﾘﾝｸ:pantodon.shinshu-u.ac.jp
代数的トポロジー信州春の学校第3回 (2014年度)
開催日: 2015年3月3日 (火)〜6日 (金) (4日間)
場所: 信州大学理学部 (講義:第一講義室)
内容: ∞圏の基礎とそのいくつかの応用に関する講義とその準備のための勉強会の2本立て。

Higher category の構造とホモトピーの関係を理解し, ∞圏の定義にホモトピー論の言葉を用いることに納得すること。
3月4日以降の講義で用いられる単体的集合とモデル圏の言葉に慣れること。

これらの内容を7人の人で分担して話してもらいました。

3月3日
省10

146: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:56 ID:DzICE8Th(36/47) AAS
外部ﾘﾝｸ[pdf]:surgery.matrix.jp
Lurie's quasi category theory 変換群論シンポジュウム報告集. 南範彦. (名古屋工業大学) 2008

147: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:57 ID:DzICE8Th(37/47) AAS
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Quasi-category

It has been suggested that (∞,1)-category be merged into this article. (Discuss) Proposed since January 2016.
In mathematics, a quasi-category (also called quasicategory, weak Kan complex, inner Kan complex, infinity category, ∞-category, Boardman complex, quategory) is a generalization of the notion of a category. The study of such generalizations is known as higher category theory.

Quasi-categories were introduced by Boardman & Vogt (1973). Andre Joyal has much advanced the study of quasi-categories showing that most of the usual basic category theory and some of the advanced notions and theorems have their analogues for quasi-categories.
An elaborate treatise of the theory of quasi-categories has been expounded by Jacob Lurie (2009).

Quasi-categories are certain simplicial sets. Like ordinary categories, they contain objects (the 0-simplices of the simplicial set) and morphisms between these objects (1-simplices). But unlike categories, the composition of two morphisms need not be uniquely defined.
All the morphisms that can serve as composition of two given morphisms are related to each other by higher order invertible morphisms (2-simplices thought of as "homotopies"). These higher order morphisms can also be composed, but again the composition is well-defined only up to even higher order invertible morphisms, etc.

The idea of higher category theory (at least, higher category theory when higher morphisms are invertible) is that, as opposed to the standard notion of a category, there should be a mapping space (rather than a mapping set) between two objects.
This suggests that a higher category should simply be a topologically enriched category. The model of quasi-categories is, however, better suited to applications than that of topologically enriched categories, though it has been proved by Lurie that the two have natural model structures that are Quillen equivalent.

148: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:59 ID:DzICE8Th(38/47) AAS
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Simplicial set
From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, a simplicial set is a construction in categorical homotopy theory that is a pure algebraic model of the notion of a "well-behaved" topological space.
Historically, this model arose from earlier work in combinatorial topology and in particular from the notion of simplicial complexes. Simplicial sets are used to define quasi-categories, a basic notion of higher category theory.

History and uses of simplicial sets

Simplicial sets were originally used to give precise and convenient descriptions of classifying spaces of groups. This idea was vastly extended by Grothendieck's idea of considering classifying spaces of categories, and in particular by Quillen's work of algebraic K-theory.
In this work, which earned him a Fields Medal, Quillen developed surprisingly efficient methods for manipulating infinite simplicial sets.
Later these methods were used in other areas on the border between algebraic geometry and topology. For instance, the Andre-Quillen homology of a ring is a "non-abelian homology", defined and studied in this way.

Both the algebraic K-theory and the Andre-Quillen homology are defined using algebraic data to write down a simplicial set, and then taking the homotopy groups of this simplicial set. Sometimes one simply defines the algebraic K {\displaystyle K} K-theory as the space.
省2

149(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)20:58 ID:DzICE8Th(39/47) AAS
>>143

R^NのＮの定義と決定番号の集合をどう考えるか？
その定義と、無限定な時枝記事の「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.」>>114
「問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.」>>115
との整合性が求められる

これは、>>135に書いたように、N→100×Nと100×N→Nと両方可能だろうと
この文脈でR^NのＮの定義と決定番号の集合をどう考えるか？

当然、Ｎは>>106引用の可算無限集合
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
省13

150(2): 2016/11/05(土)21:07 ID:l70uwVZ9(2/5) AAS
>>149
> つまり、Ｎが可算無限を認めるなら、Ｋは可算無限
>
> 決定番号の集合が、可算無限集合を認めるならば、決定番号は必ず有限は言えないだろう

スレ主の脳内：
決定番号の集合Kが上に有界でない→決定番号は有限値とは言えない

だせー間違いだなおいｗ

151(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)21:09 ID:DzICE8Th(40/47) AAS
>>149 補足

>>149はそもそも>>143の(1)決定番号が有限の値の場合に対する批判だが
（つまり、（キマイラでない）通常の数列の場合でも、必ず有限とは言えない）

”(2)決定番号が無限大になった場合
決定番号より小さい添字を持つ数列はN1であるから数列A=N1(+)N2から通常の数列N1を得ることができる
N1を用いて決定番号を求めれば有限の値が得られる”

も意味わからん

152(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)21:12 ID:DzICE8Th(41/47) AAS
>>150

ああ、そうだね
間違いだね
言い直そう

Ｋは可算無限、Ｎと同じく可算無限
それで話は合うだろ？

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

あと 564 ﾚｽあります
ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.021s