現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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600: １３２人目の素数さん [sage] 2016/12/02(金) 07:50:33.90 ID:EiFQky51

>>566
(>>599の続き)
まあ、可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされる実数は、
次のようにして構成的に示せ、その存在性は保証される。
[第１段]：第n項が a_n＝b_n−1 と表わせて a_n≦n を満たすような
非負の実数列 {a_n} と、非有界で単調増加な1以上の実数列 {b_n}  を構成する。
整数部分を表わす数字代わりの記号 c_0 を {a_n} の項を任意に用いて表わすことからはじめ、
各 k＝1,2,… に対して、小数点以下、小数点第k位を表わす数字代わりの記号 c_k を、
c_k＝a_{k+1} と a_{k+1} を用いて c_1＝a_2, c_2＝a_3, … と帰納的に可算無限回表わして行く。
そして、{a_n} の項の部分列 c_0, c_1, c_2, … つまり c_0, a_2, a_3, … を構成する。
[第２段]：c_0, a_2, a_3, … を用いて無限小数表示された実数を c_0.c_1c_2…c_k… と表わして
構成し y＝c_0.c_1c_2…c_k… とおく。そして、yが実数になることを確認する。
yが実数なることの確認作業は、次のようにする。
k, n を n＞k を満たすような2以上の自然数変数とする。k≧2 のとき 0＜a_1≦1 で、
c_1/(n^1)＝a_2/n であり、c_k/(n^k)＝a_{k+1}/(n^k)≦(k＋1)/ (n^k) だから、
y−c_0＝0.c_1c_2…c_k…　　　　　　( 右辺は上で構成したyから c_0 を引いたときの表示 )
　　　　　＝Σ_{k＝1,…,+∞}( c_k/(n^k) )＝Σ_{k＝1,…,+∞}( a_{k+1}/(n^k) )
　　　　　＝a_2/n＋Σ_{k＝2,…,+∞}( a_{k+1}/n^k )
　　　　　≦a_2/n＋Σ_{k＝2,…,+∞}( (k＋1)/n^k )
　　　　　≦a_2/n＋Σ_{k＝2,…,+∞}( 1/n^{k-1} )　　　( ∵ n≧k＋1 )　　
　　　　　＝a_2/n＋Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^k )
　　　　　＝a_2/n＋(1/n)・Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^{k-1} )＝a_2/n＋(1/n)・( 1/(1−1/n) )
　　　　　＝a_2/n＋1/(n−1)、
従って、k→+∞ とすると n→+∞ となり a_2/n＋1/(n−1)→+0 となるから、y−c_0≦0。
そして、yの構成に注意すると、y−c_0≧0。従って、y−c_0＝0 から y＝c_0 となり、
c_0 が可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされた実数になる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/600

606: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/12/03(土) 10:41:24.80 ID:6Rgz8i9T

>>605 つづき

で、例えば、話は変わるが、仮に、下記”超越数かどうかが未解決の例”「e+π、e-πが有理数であるのか無理数であるのか証明されていない」を認めるとしよう
また、十進法で、下記”有理数”で「有限小数または循環小数のいずれかとなる」ことも認めよう。

もし、０が続くことを循環小数に含めるなら（1/3=0.333・・・の類似）、循環小数かどうかを見極めることができるなら、有理数であるのか無理数であるのか見分けることが可能だということだ
つまり、実数を無限小数に展開したときに、そのしっぽを見れば、循環小数かどうかを見極めることができ、有理数か否か判定可能
ところが、「e+π、e-πが有理数であるのか無理数であるのか証明されていない」のだから、現代数学は、いまだe+π、e-πの少数展開のしっぽが循環小数かどうかを見極める方法を持たないということだ

これは、>>575 時枝解法での可算無限のしっぽの見分け>>114が、箱に０〜９の極簡単なミニモデルでさえも、現代数学では不可という例示だ
つまり、e+πの少数展開からなる十進法の数の各位取りの数から成る数列を考えたとき、現代数学では実数しっぽの見分け（有理数か無理数か）ができない
（もし実数しっぽの見分けができるから、循環小数かどうかすぐ分かるはず）

もちろん、いずれ時代が進んで、不可能が可能になることもあるだろう
（例えば、e+π、e-πが超越数であることが証明されるとか）
現時点では、実数しっぽの見分け不可レベルの現代数学では、時枝解法は絵に描いた餅にすぎない

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数かどうかが未解決の例
e+π、e-π
などの円周率 π や自然対数の底 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0
有理数
十進法などの位取り記数法を用いて小数表示した場合、どの有理数も位取りの基数のとり方に関わらず有限小数または循環小数のいずれかとなる（もちろん、ある基数で表示したとき有限小数となる有理数が、別の基数では循環小数となったりすること、あるいはその逆になることはある）。同様に、有理数は必ず有限正則連分数展開を持つ。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/606

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