[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む26 [無断転載禁止]©2ch.net (705ﾚｽ)
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1(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)18:47 ID:6Rgz8i9T(1/27) AAS
小学生とバカプロ固定お断り！（＾＾；
旧スレが500KBオーバー間近で、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
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省20
2(24): 2016/12/03(土)18:48 ID:6Rgz8i9T(2/27) AAS
さて
（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>2 再録
１．時枝問題（「箱入り無数目」数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」
省16
3(13): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)18:49 ID:6Rgz8i9T(3/27) AAS
３．つづき
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが， とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列S^1,S^2，・・・，S^lOOを成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
第1列〜第(k-1) 列，第(k+1)列〜第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， S^1〜S^(k-l),S^(k+l)〜SlOOの決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
省8
4(14): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)18:51 ID:6Rgz8i9T(4/27) AAS
（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>614 再録
数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/〜 の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/〜 の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
さらに、前スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル， という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎， というのも早計だろう.
省19
5(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)18:51 ID:6Rgz8i9T(5/27) AAS
>>4
補足
（引用開始）
「(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
・・・
当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
（引用終了）
省3
6(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)18:53 ID:6Rgz8i9T(6/27) AAS
>>5
前スレより
651 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/12/03(土) 18:40:32.23 ID:6Rgz8i9T [39/39]
時枝記事の問題点>>114-115 を、まとめておく
１．そもそも、可算無限の数列のしっぽなんて、「同値から推移律確認！ はいおわり」 それですむ話じゃないだろう
２．コーシー列はヒルベルト空間内だが、時枝記事のR^Nはヒルベルト空間外。ヒルベルト空間外の数列は扱いが難しい。ま、そこらがトリックのネタだろう
３．”しっぽが一致する”を実際の数列について、判別する方法（実行方法）が与えられていない（絵に描いた餅だ。数列の最初から見て行っては終わらない）
４．決定番号があやしい。特に、決定番号の確率分布がすそが重い（超ヘビー）確率分布になるから、99/100が言えない（∵大数の法則も中心極限定理も不成立だから）
５．さらに、確率分布の変数として、決定番号を見たときに、定義域は[1, ∞)となる。だから、∞まで考える必要がある。この点からも、99/100は簡単に言えない
６．０〜９の数を箱に入れる極簡単なミニモデルでも、可算無限数列のしっぽは、現代数学では扱えない
省2
7(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)18:54 ID:6Rgz8i9T(7/27) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
674 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 23:02:43.81 ID:MokdApDK [41/44]
>>654
>無限級数に対してよくある誤解
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
新たな客は1人どころか、複数でも、（可算）無限でもよい。例えば、1号室の客を2号室へ、2号室の客を4号室へ、3号室の客を6号室へ、…、n 号室の客を 2n 号室へ、…と移せば、1号室、3号室、5号室、…つまり奇数号室は空室になるから、無限の客を新たに泊めることができる。
さらに次のようなこともできる。それぞれに無限の乗客が乗った無限台の車がホテルに乗りつけたとする。この場合、まず奇数号室を上のようにして空け、1台目の乗客を 3n（n = 1, 2, 3, …）号室に、2台目の乗客を 5n（n = 1, 2, 3, …）号室に、…というふうに入れる。i 台目の乗客は pn（ここで p は i + 1 番目の素数）に入れればよい。
現実にある（2室以上ある）有限ホテルでは、当然奇数号室の数は全室数より少ないが、無限ホテルではそうではない。数学的には、全室からなる集合の基数（有限集合における要素の個数に当たる）は、その真部分集合である奇数号室すべての集合の基数と等しい。これは無限集合の特徴である。この可算無限集合の基数は アレフ 0 と表される。
省1
8(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)18:55 ID:6Rgz8i9T(8/27) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
675 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 23:11:52.43 ID:MokdApDK [42/44]
>>654
>無限級数に対してよくある誤解
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
デデキント無限
デデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。それはつまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。
選択公理との関係
整列可能な任意の無限集合はデデキント無限である。
ACは任意の集合が整列可能であることを述べた整列可能定理と同値であるから、ACから無限集合はデデキント無限集合であるということが簡単に導かれる。
9: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)18:56 ID:6Rgz8i9T(9/27) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
507 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/10(土) 14:08:29.04 ID:q7Skbg74 [7/14]
>>506 つづき
上記のように解析においては、有限と無限はあまり混乱しないが
代数においては、有限と無限の言葉使いがよく混乱する
例えば、有限単純群の理論がある 外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org 単純群 - Wikipedia
有限単純群の中に、いくつかの無限系列の族がある。簡単な例では、Zp ? 素数位数の巡回群。素数pは考えている範囲では有限だが、取り得るp値の範囲としては無限だ
有限と無限の言葉使いの混乱の例はさておいて
いま確率が問題になっているのだから、決定番号d(s)の値域dom(d(s))がどうなっていて、dom(d(s))の範囲がどうかとか、d(s)の平均値や分散、標準偏差・・・
そういう確率分布を特徴づける値がどうかと
省1
10(1): 2016/12/03(土)19:14 ID:2FpTt2YW(1) AAS
削除依頼出しました
11: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)19:44 ID:6Rgz8i9T(10/27) AAS
>>10
運営乙
12: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)19:54 ID:6Rgz8i9T(11/27) AAS
それから、過去、確率論の専門家と私が呼ぶ人（おそらく大学教員レベル）が、時枝記事不成立と言っていた
また、もう一人、おそらく修士から上のレベルと思うが、時枝記事を与太話と、切って行ったね（＾＾；
13: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)20:01 ID:6Rgz8i9T(12/27) AAS
外部ﾘﾝｸ:detail.chiebukuro.yahoo.co.jp
量子系について - 量子系はなぜヒルベルト空間で記述されるのでしょう... - Yahoo!知恵袋: 2008/5/19
量子系はなぜヒルベルト空間で記述されるのでしょうか？
ヒルベルト空間は内積(ノルム)が定義され要素の列がコーシー列となる空間のことだと思いますがなぜこれらの性質が必要となるのですか？
ベストアンサーに選ばれた回答 phd_ninoさん 2008/5/20
なぜ、ヒルベルト空間が必要かはお答えできませんが、
少なくとも交換関係を導くためにはヒルベルト空間が必要です。
ノルムが定義されないと、交換関係が導かれません。
完備性が物理的になぜ必要かは、私ははっきりは知りませんが、
量子力学の固有値をヒルベルト空間内のベクトルとして扱うことと関連しているのではないでしょうか？
14(1): 2016/12/03(土)20:18 ID:lwy6STi8(1/12) AAS
>>6
> ３．”しっぽが一致する”を実際の数列について、判別する方法（実行方法）が与えられていない（絵に描いた餅だ。数列の最初から見て行っては終わらない）
theoryの話をしているときにpracticeの話をする馬鹿
15(1): 2016/12/03(土)20:24 ID:lwy6STi8(2/12) AAS
誰だってバナッハ＝タルスキーのパラドックスが現実世界で実現可能とは思ってませんがなｗ
それと同じこと。
in practiceで不可なんて誰でも分かってますよ。あんたに言われなくてもねｗ
子どもでもわかるでしょ。現実に不可能ってことは。
無限個の箱を並べて無限個の数を見なきゃいけないんだからさ。
16(1): 2016/12/03(土)20:46 ID:gSCOT3Bu(1) AAS
>>6
スレ主が任意の無限数列が出題可能だと仮定している場合に例えばeやπの無限小数表示から数列を構成するならば
{eのn番目まで}と{eのn+1番目以降}から成る無限数列
{eのn番目まで}と{πのn+1番目以降}から成る無限数列
{πのn番目まで}と{πのn+1番目以降}から成る無限数列
{πのn番目まで}と{eのn+1番目以降}から成る無限数列
を出題することは可能であるから{eのn+1番目以降}や{πのn+1番目以降}の全ての数字を正しく箱の中に
入れることができると仮定していることになる
他の数列でも同様
> ”しっぽが一致する”を実際の数列について、判別する方法（実行方法）が与えられていない
省5
17(2): 2016/12/03(土)20:47 ID:a5s7rEiu(1/3) AAS
つまり選択公理を否定したいわけね？
18(1): 2016/12/03(土)21:30 ID:lwy6STi8(3/12) AAS
>>17
in practiceではそうなるなｗｗｗｗｗｗ
スレ主は何がしたいんだろ？ｗｗｗｗｗｗ
ここって数学板だったよなぁ？
19(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)21:39 ID:6Rgz8i9T(13/27) AAS
原 隆先生、”量子力学の構造”秀逸やね
外部ﾘﾝｸ[html]:www2.math.kyushu-u.ac.jp
２００９年度の講義 数学特論１８ （数学科）４年向け，2009年度秋学期 Last updated: 10/02/12．原 隆（数理学研究院）九大
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www2.math.kyushu-u.ac.jp
2010.01.18. 数学特論 （数学者のための物理学概論） 担当：原 隆（数理学研究院）九大
量子力学の構造
仮説1 (量子力学の舞台I．状態)
系の現在は可分な複素ヒルベルト空間Hの規格化された，つまりノルムが1のベクトル（状態ベクトル，または単に状態，stateと言う）で与えられる．
仮説2 (量子力学の舞台II．物理量)
(a)観測できる物理量（observable）はHの上の（自己共軛な）演算子（作用素）で与えられる．
省13
20: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)21:41 ID:6Rgz8i9T(14/27) AAS
>>19 つづき
仮説5 (対応原理)
古典力学から量子力学に移行するには，古典力学におけるPoisson括弧{・,・}を以下のように量子力学的な交換関係[・,・]?と読み変えよ（このような交換関係を満たすようにヒルベルト空間とその上の作用素を表現せよ）：
{A, B}=→1/ih[?A,?B]? (15）
仮説6 (時間発展：Schr ?odinger picture)
（量子力学的な）系のハミルトニアン?Hと呼ばれる自己共軛な演算子があって，系の状態ベクトルの時間発展は，Schr ?odingerの運動方程式（時刻tでの状態を|ψ(t)＞と書く）
ih d/dt|ψ(t)＞=?H|ψ(t)＞(16)
で与えられる．（古典的対応物のある系では?Hは，仮説2に従って，その古典力学的ハミルトニアンにおいて座標と運動量をそれぞれ?q，?pで置き換えたもので与えられると考える．）
仮説7 (時間発展：Heisenberg picture)系の時間発展は，（系の状態ベクトルは時間的に不変で，代わりに）全ての物理量が
ih d/dt?AH(t) =[?AH(t),?H]? (17)
省2
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