[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む29 [無断転載禁止]©2ch.net (548ﾚｽ)
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107(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)09:34 ID:cIMCvfu9(5/30) AAS
外部ﾘﾝｸ[htm]:members.jcom.home.ne.jp
超準解析１:
(抜粋)
～ダーツを一点に当てる確率～
さて、ここに昔からありがちな問題がある。君がダーツを投げるとき、ある一点に厳密に当たる確率は一体どれくらいか?そして、この種の問題には、非常にありがちな一つの答えがいつも与えられる。その確率は、ゼロであると。なぜならば、各点における確率がもし有限の値なら、ダーツ板の全体における積分が発散してしまうから だ。
これ(確率がゼロであること)は、いわゆる必要条件だというわけである。
高校のころからこうした答えは、常に私を悩ませてきた。その確率は、aとdxdyをかけたものではなぜいけないのだろうか?
人は言う。そうした無限小の取り扱い方は、厳密ではないと。なぜなら、実数体はアルキメデス的だからだ、と。そう、われわれはアルキメデスと戦わなければならない。 いきなり妙な言葉が出てきたので読者を困惑させてしまったかもしれないが
ライプニッツやオイラーが気ままに使ってきた微小量～adxdyという記号～は、明らかに実数体に関するアルキメデスの公理を満たさない。なぜなら、もしアルキメデスの公理を満足してしまったとすると、adxdyはn倍すればどんな数よりも、例えば1よりも大きくなる。それならば、この量はn分の1よりも大きい。
しかし、微小量の定義はあらゆる数より0に近い数のことだから、ここで行き詰ってしまう。お前の言っている微小量には、実体は無いではないかと。
省3
108: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)09:34 ID:cIMCvfu9(6/30) AAS
外部ﾘﾝｸ[htm]:members.jcom.home.ne.jp
超準解析２:
(抜粋)
簡単に言ってしまえば、これがε－δ論法であり、最も本質的な点である。最も本質的な点とは、この議論には微小量が出て来ないということである。もちろん、εは微小量なのだが、建前上は"任意の数"ということになっている。任意だから、いくらでも小さくてよい。すると、収束円はいくらでも小さくなり、ついに一つの実数まで縮んでしまう。
こうして厳密な極限の方法を我々は得た。そして関数の極限が定義され、導関数の極限が定義され、リーマン和の極限も定義される。これら全ての概念にコーシー列が密接に関わっている。コーシーは、極限というあいまいな実体を点列の運動という概念によって 一挙に捉え、ヴィジュアル化したのであった。
～なにか問題が？～
簡単に言えば、ε－δによる微分は厳密性を得た代わりに、微小量の直感性を失った。導関数は定義されてももはやそれはdfとdxの比ではなく、単なる一つの関数を表す記号なのである。dfやdxは単なる記号であり、単独では意味を持たない。
しかし、導関数が微小量の比であるというイメージはとても納得できるし、コーシー流の微分でもこのイメージを避けて通ることは出来ない。頭の中のイメージと紙の上の証明とでは、全く違うことをやっているのである。
私は、数学は視覚的に明らかである方がよいと思う。それは、上に挙げた参考文献を書かれた小平邦彦先生もおっしゃっていることである。 数学とは、心の中で起こる数学的現象を解析する学問なのだ。それでは、感覚的に優れた微小量という存在を厳密に扱うにはどうすれば良いだろうか?
省2
109(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)09:35 ID:cIMCvfu9(7/30) AAS
外部ﾘﾝｸ[htm]:members.jcom.home.ne.jp
超準解析３:
(抜粋)
超準解析にはその学問的価値に比して、日本語の本が非常に少ない。(ような気がする。)
しかし、H.Jerome.Keisler教授が無料のpdfを自らのホームページでアップロードしている。およそ900ページの超大作である 。(それでいて、freshmanのために執筆したと書いてある!!)ちなみに私は読んでいない。というか読めない。
本章の目的は超準解析を広く流布し、モナドのイメージを掴んでもらうことであるから、公理的な記述は出来るだけ避けようと思う。公理的な記述に飢えたら、このサイトにこだわらず広く本を漁ってほしい。
超準解析が、皆様の多彩なアイディアの助けとなることを祈る。
(引用終り)
110: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)09:40 ID:cIMCvfu9(8/30) AAS
>>107
>～ダーツを一点に当てる確率～
>君がダーツを投げるとき、ある一点に厳密に当たる確率は一体どれくらいか?そして、この種の問題には、非常にありがちな一つの答えがいつも与えられる。その確率は、ゼロであると。なぜならば、各点における確率がもし有限の値なら、ダーツ板の全体における積分が発散してしまうから だ。
そう
宝くじ
当りは１枚
発行枚数を無限に多くする
一人が当たる確率はゼロ
だが
当たる人は必ず存在する
111: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)09:55 ID:cIMCvfu9(9/30) AAS
2017年から振り返ってみると面白い
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
ゲージ場/量子確率論/超準解析/・・・再び場の理論へ :
中西襄先生還暦記念シンポジウム : 場の理論の過去・現
在・未来を始めるにあたって(場の理論の基礎的諸問題)
Author(s) 小嶋, 泉
Citation 数理解析研究所講究録 (1994)
112: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)10:03 ID:cIMCvfu9(10/30) AAS
外部ﾘﾝｸ:d.hatena.ne.jp
超フィルター（ultrafilter）って何なんだ： 点？ 確率測度？ - 檜山正幸のキマイラ飼育記:2013-12-17 (火)
(抜粋)
超フィルターと極大フィルターは同義語です。ベキ等可換環では、極大イデアルと素イデアルは同じものです。よって、「超フィルターの空間＝スペクトル（素イデアルの空間）」となります。
適当な位相を入れた「超フィルターの空間」はストーン空間と呼ばれ、このときの適当な位相がスペクトルのザリスキー位相でした。ストーン空間＝スペクトルは、コンパクト空間になりますが、これが論理のコンパクト性定理に対応します。このことは次の記事を参照してください。
コンパクト空間と論理／モデル論 外部ﾘﾝｸ:d.hatena.ne.jp
Xが無限のとき、Spec(A) = Spec(Pow(X)) はXを含みますが、コンパクト化により、もともとXにはなかった点も持っています。つまり、Spec(A) はXの拡張になっています。Xの拡張とみなした Spec(A) をXの超フィルター拡張とも呼びます。手段として超フィルターを使った拡張だからですね（ベタな呼び名）。
省6
113: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)10:09 ID:cIMCvfu9(11/30) AAS
外部ﾘﾝｸ:d.hatena.ne.jp
コンパクト空間と論理／モデル論 - 檜山正幸のキマイラ飼育記:2005-12-07 (水)
(抜粋)
論理／モデル論（logic and/or model theory）でコンパクト空間が登場する例で、僕が面白いと思うのはモデル（の同値類）の空間のコンパクト性だ。これは、ずばり「コンパクト性定理」として知られている内容だが、どんな空間がコンパクトになるのかはなぜか言及されないことが多い。で、コンパクト性定理の成立している位相空間を紹介してみたい。
内容：
モデルの空間
論理式が定義する関数
位相空間としてのモデル空間
補足または蛇足 -- 推論の練習
コンパクト性定理
省2
114(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)10:10 ID:cIMCvfu9(12/30) AAS
つづき
●モデルの空間
命題とか主張とかを表現するための人工言語を考えて固定する。この人工言語（論理的な言語）において、文に相当する記号列を論理式（formula）と呼ぶ。論理式の真偽を定めるには、解釈の場となるモデル（領域と構造）が必要。解釈の方法も決めたとして、モデルMに対して論理式fが真なら M |= f と書いて、M satisfies f と読む。
（トリビア： 縦棒とイコールをくっつけた記号はダブルターンスタイル;double turnstile って呼ぶ。）
当該の論理系（言語＋解釈）に対するモデルの全体をModとする。Mがモデルだとは、M∈Mod のこと。Modはとりとめもない集まりで、実際とてつもなく大きな集まりになったりするのだが、次のようにして同値関係を入れれば、十分に小さくなる。
ここで、m, n などを点と考えて、Xは空間だと思いましょう。もともとは、構造を持ったM、さらにMと同値な（区別つかない）構造達をかき集めた対象がmだから、これを“点”とみなすのは心理的に抵抗感があるかもしれないが、集合のメンバーだから、まー“点”だと思ってくださいよ、だまされたと思ってさぁ。
ここで、点とか空間とか呼ぶのは、Xに位相を入れる心づもりがあるから。
省4
115(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)10:10 ID:cIMCvfu9(13/30) AAS
つづき
●コンパクト性定理
モデル論の「コンパクト性定理」とは、論理式の集合Aがモデルを持つかどうかに関する主張である。
Aの任意の有限部分集合がモデルを持つ ⇔ Aがモデルを持つ
これは、Aが有限のときは面白くない。論理式の無限集合に対して成立するのがすごいところだ。
省6
116: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)10:14 ID:cIMCvfu9(14/30) AAS
>>115
ここ面白いと思った
（引用開始）
論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。
Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがある
つまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として（超越的／原理的には）特定できることになる。
省5
117: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)10:56 ID:cIMCvfu9(15/30) AAS
外部ﾘﾝｸ[pdf]:miuse.mie-u.ac.jp
一般の汎関数空間上のFourier変換 桑原克典 紀要三重大 2005
(抜粋)
Introduction 1960年ごろ、Abraham Robinsonがモデル理論の考えを使うことによって、Leibniz流の無限小解析をそのままの形で合理化することができるのではないか、 という着想を得たのが超準解析
(Nonstandard Analysis)の始まりである。その後、超積の理論とも結びついて超準解析は急速に発展し、応用としてRicmann積分、位相、そして確率過程の議論へのNonstandardバージョンが見られるようになった。
超準解析によれば、たとえば実数体の超準モデルとして、実数体を真に合む全順序体が作られる。そ
こには無限大数、すなわちどんな実数よりも大きい数や無限小数、すなわちその絶対値をとったときに
どんな正の実数をよりも小さく、しかもゼロより大きい数が存在する。これは無限という概念の実体化、
すなわち実無限を数学として厳密かつ具体的に構成したということで特筆すべき業績である。しかも、
ある意味で実数体に関して成り立つ性質はすべて超実数体、すなわち拡大された体でも成り立ち、逆も
省14
118: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)11:04 ID:cIMCvfu9(16/30) AAS
こういう議論についてこれない （文系）High level people は、28へどうぞ
あそこは、完全に煮詰まっているから歓迎されるだろう
119: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)11:12 ID:cIMCvfu9(17/30) AAS
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Peter Albert Loeb is a mathematician at the University of Illinois at Urbana?Champaign. He co-authored a basic reference text on non-standard analysis (Hurd?Loeb 1985). Reviewer Perry Smith for MathSciNet wrote:
This book is a welcome addition to the literature on nonstandard analysis.[1]
The notion of Loeb measure named after him has become a standard tool in the field.[2]
Loeb, Peter A. "Conversion from nonstandard to standard measure spaces and applications in probability theory". Trans. Amer. Math. Soc. 211 (1975), 113?122.
外部ﾘﾝｸ:www.math.uiuc.edu
Peter LoebDescription: C:\Users\Peter\Desktop\image002.jpg
Department of Mathematics
University of Illinois at Urbana-Champaign
120: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)11:14 ID:cIMCvfu9(18/30) AAS
２８の失敗は、コテ付けなかったことかな
だれの発言かわけわからん
せめて片方がコテつけていれば、かなり分かり易かったろう
121: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)11:15 ID:cIMCvfu9(19/30) AAS
結局なんにも証明されていないんじゃない？
議論がよく見えないが
122(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)11:25 ID:cIMCvfu9(20/30) AAS
>>109
>H.Jerome.Keisler教授が無料のpdfを自らのホームページでアップロードしている。およそ900ページの超大作である 。(それでいて、freshmanのために執筆したと書いてある!!)
外部ﾘﾝｸ:www.math.wisc.edu
H. Jerome Keisler
Vilas Professor of Mathematics Emeritus
University of Wisconsin
Publications
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.wisc.edu
Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach
Chapter 1 Real and Hyperreal Numbers 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.wisc.edu
省3
123(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)11:28 ID:cIMCvfu9(21/30) AAS
>>122
＞The whole book in one large file (25 megabytes) 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.wisc.edu
これいいわ
図が多い
ビジュアルやね
124: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)11:50 ID:cIMCvfu9(22/30) AAS
>>122-123
ぱらぱら見たけど
およそ900ページの超大作は、Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach The whole book in one large file (25 megabytes) 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.wisc.edu
の方だが、これは普通のElementary Calculusと変わらんが、デルタイプシロンでなく、ノンスタ使いましたという感じだな
Foundations of Infinitesimal Calculus (2007) 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.wisc.edu
こちらの方が、ノンスタ深入りしているね
125(1): 2017/01/28(土)16:12 ID:EwkKBBRb(2/4) AAS
>>105-106
> X1，X2，X3，… が独立変数であるにもかかわらず
2chｽﾚ:math
> 極限を考えても、同値s ～ r は不変だ
極限をとらずに(可算)選択公理を使って無限数列の全ての数字を指定すると
上の同値が不変であることは言えなくて同値類は変化する
>>106
> 「P(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
> (2)から(1)が導かれてしまったので
この極限に相当する部分を箱に入れた数字では示せないから数当てにおいては
省13
126: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)17:05 ID:cIMCvfu9(23/30) AAS
突然ですが、ねこブームというが、人もトキソプラズマによって性格を変えられているのかも・・
外部ﾘﾝｸ:news.livedoor.com
体内に寄生して性格をゆがめさせるトキソプラズマの恐怖 ライブドアニュース 2015年3月27日
(抜粋)
人間の体内にも寄生している寄生生物が宿主の行動や性格をゆがめていることが判明 2015年3月27日 GIGAZINE（ギガジン）
ネズミやネコ、人間などあらゆる生き物の脳に寄生し、宿主の行動をねじ曲げたり健康に害を及ぼすという恐るべき寄生生物が「トキソプラズマ」です。どういった生き物でどのような影響を及ぼすのかについて、インディアナ大学医学部にて教授を務めるグスタボ・アリサバラガ氏とビル・サリヴァン氏が明かしています。
ネズミはネコに対して根本的な恐怖心を抱いています。これは、ネズミを「死」から守るための感覚なのですが、不運にもネズミにはもうひとつ、恐るべき敵が存在します。それが単細胞生物の「トキソプラズマ」で、これは寄生したネズミの最も根本的な生存本能である「ネコに対する恐怖心」を感じなくさせてしまうという恐るべき寄生生物です。
省5
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