[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む29 [無断転載禁止]©2ch.net (548ﾚｽ)
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107(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/28(土)09:34 ID:cIMCvfu9(5/30) AAS
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超準解析１:
(抜粋)
〜ダーツを一点に当てる確率〜
さて、ここに昔からありがちな問題がある。君がダーツを投げるとき、ある一点に厳密に当たる確率は一体どれくらいか?そして、この種の問題には、非常にありがちな一つの答えがいつも与えられる。その確率は、ゼロであると。なぜならば、各点における確率がもし有限の値なら、ダーツ板の全体における積分が発散してしまうから だ。
これ(確率がゼロであること)は、いわゆる必要条件だというわけである。
高校のころからこうした答えは、常に私を悩ませてきた。その確率は、aとdxdyをかけたものではなぜいけないのだろうか?
人は言う。そうした無限小の取り扱い方は、厳密ではないと。なぜなら、実数体はアルキメデス的だからだ、と。そう、われわれはアルキメデスと戦わなければならない。 いきなり妙な言葉が出てきたので読者を困惑させてしまったかもしれないが
ライプニッツやオイラーが気ままに使ってきた微小量〜adxdyという記号〜は、明らかに実数体に関するアルキメデスの公理を満たさない。なぜなら、もしアルキメデスの公理を満足してしまったとすると、adxdyはn倍すればどんな数よりも、例えば1よりも大きくなる。それならば、この量はn分の1よりも大きい。
しかし、微小量の定義はあらゆる数より0に近い数のことだから、ここで行き詰ってしまう。お前の言っている微小量には、実体は無いではないかと。
実体が無い。それはどういうことか。それは、無限小の論理が矛盾を含まない論理体系になっていないということである。
この問題は、幾多の苦しみを経て(いや、本人にとってはいかにも楽な仕事だったかもしれないが。)、フランスの大数学者コーシー(Augustin Louis Cauchy,1789-1857)により解決された。微小量ではなく、その比だけを扱えばうまく行くことが分かったのである。彼の定式化した方法を、ε−δ論法という のは皆さんおなじみであろう。
(引用終り)
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