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２つの封筒問題 Part.3 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
２つの封筒問題 Part.3 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1489358280/
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47: １３２人目の素数さん [sage] 2017/03/17(金) 00:28:02.52 ID:Mi2oe6ot >>44 横からだが > 元の問題では封筒が2通あり、中身を(x, 2x)としておこう。同義だが、(0.5y, y)としてもよい。 ここでやってることを数学の専門用語を用いて表現すると 「２通の封筒の金額のうちの小さい方に対応する確率変数をxとおく。大きい方の確率変数をyとおく」 となる 一方 > 上記を、(x, 2x)であり、かつ(x, 0.5)だと思ってしまう これは数学的には 「手元の封筒の金額に対応する確率変数をzとおく」(注：前述のxと混同しないように記号を置き換えている) ということをやっている > 注意したいのは、問題を考えるにはどちらかだけを使うべきであることだ。 数学的には前者の確率変数x,yと後者の確率変数zのどちらも使うことができ、数学的におかしな点はない 前者だけを考えるべきというのは誤り それでも君が前者だけを使うべきだと主張するなら、確率変数zを用いてはいけない理由を 数学的な表現(数学の用語、形式)で、明確に述べなければならない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1489358280/47
61: １３２人目の素数さん [sage] 2017/03/17(金) 16:42:37.44 ID:Mi2oe6ot 封筒A,Bのどちらも開封してない状態の確率空間を基準とすると 封筒の金額の組を{x,2x}とおいた場合の期待値というのは 条件付き期待値E[・|{A,B}={x,2x}]やE[・|A+B=3x]と表せる(どちらも同じものを指している) 一方 封筒Aの金額をaとし、封筒Bの金額が2aかa/2であるとした場合の期待値は 条件付き期待値E[・|<A,B>=<a,2a>or<a,a/2>]やE[・|A=a]と表せる 同様に 封筒Bの金額をbとしたときの期待値はE[・|B=b]と表せる E[・|{A,B}={x,2x}]とE[・|A=a]は別の状況を表した期待値であって 「どちらかだけが正しく、他方を考えるのは間違い」ということはない 「封筒Aを開けたら10000円だった」という状況における期待値とは普通、E[・|A=10000]のことを指す それぞれA,Bの金額を確認したとき、その金額が何であってもお互いに相手の金額の期待値の方が大きい、つまり 任意のa,bで E[B|A=a]＞E[A|A=a] かつ E[A|B=b]＞E[B|B=b] となったとしても、数学的に何ら矛盾はない オマケ A,Bの分布が対称、つまり、<A,B>の同時分布と<B,A>の同時分布が等しいなら 封筒を開封する前における、交換した際の増加率の期待値はお互いに1.25となる E[(B-A)/A]＝E[(A-B)/B]＝1.25 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1489358280/61
67: １３２人目の素数さん [sage] 2017/03/17(金) 18:02:45.52 ID:Mi2oe6ot >>66 > 期待値ってなんだ？多数回の試行をすれば漸近していく値だろう？大数の法則でな。 違います 期待値の定義は、確率による加重平均です この定義などから数学的に推論することで ある試行が"一定の条件"をみたすとき、その試行を独立に多数回行うと、その結果の平均は期待値に近くなる確率が高い などの事柄が導出されるのです さて それぞれA,Bの金額を確認したとき、その金額が何であってもお互いに相手の金額の期待値の方が大きい 任意のa,bで E[B|A=a]＞E[A|A=a] かつ E[A|B=b]＞E[B|B=b] が成立するような確率分布がどうなっているかを 調べてみると 大数の法則の前提条件である"一定の条件"を満たしていないことがわかります 従って、大数の法則はそのまま適用できず、数学的な矛盾などは起きていないのです。 ただし、ここではそのような確率分布に矛盾がないことを言っているだけで 元の封筒問題がそのような確率分布に従っているとは限りません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1489358280/67
73: １３２人目の素数さん [sage] 2017/03/17(金) 19:37:25.41 ID:Mi2oe6ot >>72 実際の損得(交換による増加量)と 期待値的な損得(各人にとっての増加量の条件付期待値)を混同してる 実際の損得を合計すると０になるのは正しいが そこから「両者の期待値が０より大きい」が間違いだと示すことはできない 実際の損得はそれぞれ B-A,A-B なので合計は (B-A)+(A-B)=0 一方 各人にとっての増加量の期待値はそれぞれ E[B-A|A=a],E[A-B|B=b] これらを合計しても意味のあるものにはならないし、合計が０になるとは限らない E[B-A|A=a]＞0 かつ E[A-B|B=b]＞0 つまり 両者ともに交換した方が"期待値的に得" ということは何もおかしくない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1489358280/73
87: １３２人目の素数さん [sage] 2017/03/17(金) 22:03:40.08 ID:Mi2oe6ot >>83 すまん間違えた 1.25＝E[B/A]＝E[A/B]であって E[(B-A)/A]＝E[(A-B)/B]＝0.25が正しい (B-A)/A のとり得る値は +1 -1/2 で、対称な分布だと確率はそれぞれ1/2だから E[(B-A)/A]＝(1×1/2)＋((-1/2)×1/2)＝1/4 って遅かったか・・・ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1489358280/87
88: １３２人目の素数さん [sage] 2017/03/17(金) 22:31:44.90 ID:Mi2oe6ot 元の問題と別なことくらい書いてる方はわかってるよｗ 元の問題と同じかどうかは重要じゃない 別の問題で「お互いに交換した方が期待値的に得」ということがあり得るなら 元の問題で「お互い交換した方が期待値的に得というのはおかしいから〜」という論法は成り立たない ということを指摘しただけ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1489358280/88
93: １３２人目の素数さん [sage] 2017/03/17(金) 23:51:30.82 ID:Mi2oe6ot >>91 > どうしても適用したいなら、アナロジーがきちんと成り立つことを立証するんですな それはこっちのセリフだｗ 別の問題により、一般には「お互い交換した方が期待値的に得というのはおかしいから〜」という論法が成立するとは限らないことが示されたのだから 元の問題でその論法を適用したいのなら 「その論法が成立する条件」と「元の問題がその条件を満たすこと」を示す必要がある それが不十分なのに 「別の問題はともかく、元の問題ではお互い交換した方が期待値的に得というのはおかしいに決まってる。だから間違い」 などと言っても何の意味もない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1489358280/93
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