２つの封筒問題 Part.3 [無断転載禁止]©2ch.net

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1(33): 2017/03/13(月)07:38 ID:zmmUE9kK(1) AAS
２つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の２倍である。
一方の封筒を開けると１万円入っていた。あなたはそのままその１万円をもらってもいいし、もう一方の封筒と交換することもできる
そのまま１万円をもらった方が得か、それとも交換したほうが得か。
※前スレ
2つの封筒問題について Part.2
2chｽﾚ:math

4(8): 2017/03/13(月)13:02 ID:MLKxbWEk(1) AAS
前スレ>>997へ
> >プレーヤーは初めてゲームを行い、かつ1回きりだ。
> という前提を置きたいならそれでもよい。
> その場合、無数の可能世界を考えてみればよい。

当然そうするものだ。それを正しく行えということだよ。シミュレーション以前に数式としてね。

> 例えば、開けた封筒に１万円を見たという参加者がいる１００万ほどの同様な世界を考えればよい。

当然、そうなる。100万というのは要は多数だね。ここまでは正しいんだよ。

> 封筒を交換することにより、約５０万の世界では、半分の5千円になり、約５０万の世界では倍の２万円になる。
省14

5(3): 2017/03/14(火)07:40 ID:WiqWtIbn(1/2) AAS
二封筒問題に根強くつきまとう「二つの錯覚」を定式化しておきましょう。

■錯覚その１（なぜか数学者が陥りがちな）

　　∀ｘ（開封してｘ→Ｐ｛ｘ、ｘ／２｝＝Ｐ｛ｘ、２ｘ｝）　　　……①

　　∀ｘ（◇開封してｘ→Ｐ｛ｘ、ｘ／２｝＝Ｐ｛ｘ、２ｘ｝）　　　……②

　①は真です。開封しても、高額か低額かの手掛かりにならないので。
　②は偽です。無限個の確率変数にわたる一様分布は不可能なので。
　論理的に、①から②は導けません。
　②が不可能であることは、①に対する批判にならないということです。
省9

10(5): 2017/03/14(火)13:57 ID:MfQ0xR9N(1) AAS
>>9
> 「プレーヤーは初めてゲームを行い、かつ1回きりだ。」
> と言ったね。

それを多数回の平均に敷衍するわけだよ。いったい何をどう読んでいるのやらだね。
もう一度分かりやすく言えば、レス先（前スレ）での、多数回への敷衍の仕方が間違いという話だ。

> 2通目が5千なら5千ばかり開け続けるとか、2通目が2万なら2万ばかり見続ける
> なんて話になるのだ？

2つの封筒しかないからさ。封筒の中身はゲーム前から確定している。ゲームの前提すら理解してないのか？
1つを開けたからといって、他の2つの中身が2種類あり得るなんてこと、あるわけがないんだよ。
2通の封筒の中身は確定している。この点を決して外して考えてはいけない。
省9

11(3): 2017/03/14(火)18:17 ID:Ft2FBl2z(1) AAS
なんかもう期待値も確率分布も全否定とか。何なの？
その考えでいけば、
「封筒の中身はゲーム前から確定している。が、
その中身はわからない」で話は終わってしまう。

わからない中身が何であるかを部分的に予測する
議論が確率による評価なわけでね。
ちゃんと基礎確率分布を設定して
その上で何が言えるかを論ずれば、
「俺にはわからない」じゃなく「その方法では誰にも
わからない」というきちんとした評価が導かれる。
省15

13(3): 2017/03/14(火)21:08 ID:QahObBg6(1) AAS
この論理で言えばモンティホールでもモンティ目線ではすでに決まってるから確率を考える意味ないって結論になるな
（勿論期待値という部分に拘るとしても確率変数を適当に設定できるのは言うまでもない）

15(3): 2017/03/15(水)00:03 ID:hxwhB/tm(1/10) AAS
>>11
> なんかもう期待値も確率分布も全否定とか。何なの？

どちらもないからさ。ないものを延々と計算従っても仕方ない。

> その考えでいけば、「封筒の中身はゲーム前から確定している。が、その中身はわからない」で話は終わってしまう。

その通りだよ。「一方が他方の2倍」なんてのは無意味は条件だ。数学的に予測するためには、だがね。

> わからない中身が何であるかを部分的に予測する議論が確率による評価なわけでね。
省6

48(5): 2017/03/17(金)03:25 ID:hqGLWejL(1/6) AAS
…確率変数なんて、高校数学で普通に出てくる用語なんですが…

それに、確率的に変化する値はなんでも確率変数として扱うことができるわけで、
「1個のサイコロを投げて出る目」も確率変数だし、
「10個のサイコロを投げて偶数の目が出る個数」も確率変数だし。

どの確率変数の確率分布を前提として議論するかというのが問題毎にあるわけで、
サイコロの問題では、「１つのサイコロの出る目は全て等確率で、
各サイコロについての確率分布は独立だ」ということを前提として様々な議論が始まる。

その設定が自然な設定なのは、サイコロの問題では実際に確率的分岐が発生するのは
各サイコロの目が決まる場面だからであって、
たとえブラックボックスの中で10個のサイコロを振って偶数の目が出た個数だけ報告する装置を
省7

53(3): 2017/03/17(金)09:40 ID:e8dd7QCn(1) AAS
絵解きパラドックス (ニュートン別冊) ムック – 2014/3/27
高橋昌一郎 (監修)

「交換のパラドックス」（76～77頁）では、有名な２封筒問題を挙げている。
２封筒を２者が持ち、各々が開封した場合、互いに交換をしたほうが期待値的には得であると述べている。

61(3): 2017/03/17(金)16:42 ID:Mi2oe6ot(2/7) AAS
封筒A,Bのどちらも開封してない状態の確率空間を基準とすると
封筒の金額の組を{x,2x}とおいた場合の期待値というのは
条件付き期待値E[・|{A,B}={x,2x}]やE[・|A+B=3x]と表せる(どちらも同じものを指している)

一方
封筒Aの金額をaとし、封筒Bの金額が2aかa/2であるとした場合の期待値は
条件付き期待値E[・|<A,B>=<a,2a>or<a,a/2>]やE[・|A=a]と表せる
同様に
封筒Bの金額をbとしたときの期待値はE[・|B=b]と表せる

E[・|{A,B}={x,2x}]とE[・|A=a]は別の状況を表した期待値であって
「どちらかだけが正しく、他方を考えるのは間違い」ということはない
省8

73(4): 2017/03/17(金)19:37 ID:Mi2oe6ot(4/7) AAS
>>72
実際の損得(交換による増加量)と
期待値的な損得(各人にとっての増加量の条件付期待値)を混同してる

実際の損得を合計すると０になるのは正しいが
そこから「両者の期待値が０より大きい」が間違いだと示すことはできない

実際の損得はそれぞれ
B-A,A-B
なので合計は
(B-A)+(A-B)=0

一方
省6

84(3): 2017/03/17(金)21:41 ID:hqGLWejL(4/6) AAS
>>80
ディーラーが入れる可能性のある５通りを知っているという設定なので
1000円、5000円、50000円を見た人は、交換したほうが確実に得
2000円、40000円、100000円を見た人は、交換しない方が確実に得ですが
10000円、20000円を見た人は、交換したら増える確率も減る確率も1/2と考えることになります。
その場合、10000円を見た人の視点からは、交換した時の得られる金額の期待値は12500円
20000円を見た人の視点からは交換した時の金額の期待値は25000円。

ただ、この設定で、封筒を開けたときに見る可能性のある金額全てについて
「それを開けた人の視点からの交換して増える金額の期待値」を計算したものを
封筒を１つ選んで開けるという試行に伴う確率変数と考えて
省4

90(13): 2017/03/17(金)23:10 ID:hqGLWejL(5/6) AAS
>>48 で何を言おうとしたかが伝わった人にはお判りかと思いますが、
私はこの問題を、ディーラーの行動パターンについての確率分布を設定せずに議論すること自体
ナンセンスだと考えています。ディーラーの行動様式がわからない限り問題として成立していない
という立場。
ただ、本来の問い方を離れ、次のような問いについて考えることには意味があるかと思います。

以下、ディーラーが設定する金額を(X,2X)として、確率変数Xについての確率分布を考えます。
（１）１つの封筒を開けた人が見た金額が何であっても、
　　交換した方が得である確率も損である確率も1/2になるような、
　　Xの確率分布を想定することは可能か
（２）１つの封筒を開けた人が見た金額が何であっても、
省8

92(8): 2017/03/17(金)23:25 ID:QF825vFa(17/17) AAS
>>90
> 私はこの問題を、ディーラーの行動パターンについての確率分布を設定せずに議論すること自体ナンセンスだと考えています。

そんなもんは元の問題にないわけだよ。2通の封筒、片方が他方の倍、ランダムで1通選んで開けたら1万円。それだけだ。
それ以上の情報を仮定するなら、別の問題になってしまうわけだよ。元の易しい問題から逃げても無意味だと思うよ？
で、上記1行で見込みがないことはよく分かる。これ以降はコメントする価値すらない。ま、出直してくるんですな（笑）。

98(4): 2017/03/18(土)19:21 ID:dR5uaQ8L(1/3) AAS
>>97
さんざん言われてきたように、二封筒問題は、
どのような封筒が用意されているのかの分布が与えられていないし、
「一方が他方の２倍」というだけでは理由不十分の原理に従った
一様分布を仮定することができないというのが、その正体なわけで。

>>84 のような分布を仮定すれば、両者にとって交換した方が得
ということになるが、それは二封筒問題ではないでしょ？という話。

問題文の状況に合う確率分布はどんなものか？どう仮定すべきか
をちゃんと意識して考えないと、
>>92
省6

99(5): 2017/03/18(土)21:13 ID:4TFNuQHq(1/3) AAS
>>98
>さんざん言われてきたように、二封筒問題は、
>どのような封筒が用意されているのかの分布が与えられていないし、
>「一方が他方の２倍」というだけでは理由不十分の原理に従った
>一様分布を仮定することができないというのが、その正体なわけで。

未開封型はともかく、開封型の二封筒問題であれば、
理由不十分の原理に従った一様分布を仮定することが合理的。
一様分布以上に合理的な確率分布は観念できない。

なので、交換により、初めに見た金額の２５％増加を期待できるとする結論に問題はない。

100(4): 2017/03/18(土)21:27 ID:dR5uaQ8L(2/3) AAS
>>99
＞二封筒問題であれば、
＞理由不十分の原理に従った一様分布を仮定することが合理的。
＞一様分布以上に合理的な確率分布は観念できない。

「一方の中身は他方の２倍」という要請を満たす金額の対は
{x,2x}(xは自然数)であって、候補は可算無限ある。
可算無限集合上に一様分布は存在しない(あるっていうなら
その確率関数を書け！)ので、二封筒問題では
「理由不十分の原理により一様分布を仮定する」という呪文は
意味を持たない。他の確率分布を仮定するか、または、
省4

101(13): 2017/03/18(土)22:05 ID:4TFNuQHq(2/3) AAS
>>100
開封型の意味をわかってない。
そもそも、二封筒問題は開封型である。

要するに、封筒を開けて特定の金額を見た。
これが前提だ。

例えば、封筒を開けて「1万円」を見た。
確率空間は
Ａ：＜1万円、五千円＞
Ｂ：＜１万円、2万円＞
これしかない。
省2

102(15): 2017/03/18(土)22:35 ID:dR5uaQ8L(3/3) AAS
>>101
そんな解法の途中で勝手に確率分布を仮定してもな。
それが前後の文脈中でオカシナ仮定でないかを確認しないと。
＞他の確率分布を仮定する場合、
＞その分布を仮定することが適切であるか否かは
＞仮定した者の責任において保証する必要がある。
と書いたが、理解できなかったのか。

「一方の中身は他方の２倍」という要請を満たす金額の対
{x,2x} の出現確率が p(x) だった場合、
封筒を開けて「1万円」を見たという条件下で
省6

114(4): 2017/03/19(日)12:51 ID:HEBbptvm(1) AAS
>>108
ほらな、宗教だ。理由不十分の原理が妥当であることを一切説明せず、
かわりに「理由不十分の原理を否定する者はベイズ確率を否定している」
という大きな飛躍で誤魔化そうとしている
「この教義を否定する者は信者にあらず。疑うな！」と言っているのと変わらないｗｗ

前スレの >>974 から引用しよう

＞　・ベイズ推定における無情報の時点での事前確率を、「今後情報が増えて行くことにより
＞　　精度が上がっていくことを想定した適当に設定された初期値」とはとらえずに、
＞　　その時点ではそれこそが正しい確率と信じて疑わない人
＞であったりするんだろうな。
省9

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