現代数学の系譜11 ガロア理論を読む30 [無断転載禁止]©2ch.net

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465: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/03(水) 09:23:21.02 ID:hJ9NLdiz

>>462 つづき
私も、正確には知らないが、無知を承知で書くと

１．無限は、古代ギリシャの時代にゼノンの逆理とかで、話題になった
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 ゼノンのパラドックス
２．時代は下って、ニュートン・ライプニッツの微分の発明：ここで極限とか関連して無限を扱うことが必要になった
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6 微分積分学
３．次に、オイラーが代表選手だと思うが、無限級数を巧みに操る名人が出た
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC レオンハルト・オイラー
４．でも、無限級数って変な結論も出る。例えば、1+2+3+4+・・・=1/12
https://ja.wikipedia.org/wiki/1%2B2%2B3%2B4%2B%E2%80%A6 1+2+3+4+・・・ "モンスター群のムーンシャイン現象に関するモノグラフでテリー・ガノン（英語版）はこの等式を「自然科学において最も注目すべき公式の一つ」と評した"
５．で、”収束とは？”、”極限とは？”という話になってきた
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90 極限
６．で、カントール先生、フーリエ級数（収束）の研究から、無限集合論へ行った
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96 集合論 ”ゲオルク・カントールによるフーリエ級数の研究において、実直線上の級数がよく振る舞わない点を調べる過程で集合の概念が取り出された”
７．で、それが19世紀後半で、20世紀中頃に”連続体仮説”に決着がついて、数学業界の多くの人は基礎論から離れた
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E4%BB%AE%E8%AA%AC 連続体仮説
８．だが、いまでも”無限”については、数学的には未決着の部分はある
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90 無限 ”無限に関する様々な数学的概念”

大まかにはこんな流れだ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/465

466: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/03(水) 09:38:51.90 ID:hJ9NLdiz

>>465 関連
> ８．だが、いまでも”無限”については、数学的には未決着の部分はある

過去ログから、大栗先生の意見下記
ガロアスレ25より
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/275-276
(抜粋)
275 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/11/12(土)
ご存知大栗先生
http://ooguri.caltech.edu/japanese
大栗 博司
http://www.theory.caltech.edu/~ooguri/outreach_j.htm
大栗 博司 アウトリーチ
(「IPMU特集」科学 (2009年, 7月) )
http://www.theory.caltech.edu/~ooguri/mathuniverse.pdf
宇宙の数学とは何か 宇宙はどんな《言葉》で書かれているか 大栗博司 科学 2009
(抜粋)
なぜいまさら量子論（その1）: 千年紀の問題

2000 年にクレイ数学研究所は千年紀を記念して，7 つの“ミレニアム問題” を提起した．
その中の1 問に，「ヤン-ミルズ場の量子論を数学的に定式化せよ」というものがある．
このいわゆるヤン-ミルズ問題が，リーマン予想やポアンカレ予想と並んでミレニアム問題のひとつに選ばれた理由は，場の量子論に数学者にも納得できる定義を与えることで，この理論を数学の1 分野として確立し，数学の発展に新しい方向が開かれることを期待するからだという．

物理学者が場の量子論の計算をするときに，最初に試みる近似法は，相互作用の強さを表す結合定数についてのべき展開，すなわち摂動展開である．

ここ数年の間にこれに代わるまったく新しい方法が開発されつつあり，ファインマン図の方法では技術的に困難とされてきた高次の近似計算ができるようになってきた．
摂動展開のような，もはや調べ尽くされたと思われていた部分にも新しい驚きがあり，美しい数学的構造が隠されている．

一方，量子論に着想を得た数学は，この20 年ほどの間に大きな進歩を遂げている（10）．
これは，1990 年以来のフィールズ賞受賞数学者の4 割近くが，量子論に関連する数学の研究に深くかかわっていることからもわかる．

たとえば，場の量子論の計算の中でもとくに性質のよいものを数学的に定式化した“量子不変量” の理論が，幾何学の理解に大きなインパクトを与えている．
場の量子論の深淵に現代数学の光が差し込もうとしているのである．
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/466

479: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/03(水) 11:05:23.88 ID:hJ9NLdiz

>>470 関連

https://en.wikipedia.org/wiki/Finitism
(抜粋)
Finitism

Main idea[edit source]
The main idea of finitistic mathematics is not accepting the existence of infinite objects such as infinite sets. While all natural numbers are accepted as existing, the set of all natural numbers is not considered to exist as a mathematical object.
Therefore quantification over infinite domains is not considered meaningful. The mathematical theory often associated with finitism is Thoralf Skolem's primitive recursive arithmetic.

History[edit source]
The introduction of infinite mathematical objects was a development in mathematics that occurred a few centuries ago. The use of infinite objects was a controversial topic among mathematicians.
The issue entered a new phase when Georg Cantor, starting in 1874, introduced what is now called naive set theory and used it as a base for his work on transfinite numbers. When paradoxes such as Russell's paradox,
Berry's paradox and the Burali-Forti paradox were discovered in Cantor's naive set theory, the issue became a heated topic among mathematicians.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/479

483: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/03(水) 12:34:15.94 ID:hJ9NLdiz

>>482 有限主義補足
Susumu Hayashi 林晋先生
http://www.shayashi.jp/
Susumu Hayashi 林晋, 京都大学大学院文学研究科 現代文化学専攻 情報・史料学教授
http://www.shayashi.jp/HistoryOfFOM/index.html
旧「数学基礎論の歴史」のページ
エッセイ・論文・講演 Essays Papers Talks
http://www.shayashi.jp/gendaishiso.html
(抜粋)
ヒルベルトと２０世紀数学 -公理主義とはなんだったか？- 現代思想版 2000年

現代思想2000年１０月臨時増刊「数学の思考」掲載の「ヒルベルトと２０世紀数学」の完全版です。OCRで読み込んだので、おかしなところがあるかもしれません。気づかれましたら、お教えください。BBSの方で結構です。（これについては、匿名でもかまいません。）
(抜粋)

7　ヒルベルトと計算

ヒルベルトが、クロネッカーの有限主義を排し、カントールの集 合論的超限的方法を称揚したことは良く知られた事実である。では、 それはなぜだったのだろうか。その理由を探るとヒルベルトと計算 の関係が浮かび上がってくる。

ヒルベルトがカントール的超限数学を称揚した理由は哲学的信念 などではない。それは数学という「知的生産活動」が、一九世紀に 直面していた技術的問題に起因している。ゲッチンゲン大学図書館 にはヒルベルトが学位論文のために書いた不変式論の長い「数式表」 が残されている。
同じような「数式表」を綴じ込んだ論文の例は、 後にヒルベルトの牙城となる Mathematische Annalen の当時の巻 に幾つかみることができる。
概念、論理による推論を主とするブル バキ的な数学に馴れた「二〇世紀的純粋数学者」の目からすれば、 ヒルベルトの数式表や、こういう綴じ込みは、四色問題解決の論文 に添えられていた膨大なケース分けを収録したマイクロフィルムと 同じ強い違和感を与える。
数学を計算と同一視する「数学を知らな い大衆」に向かって、数学は計算ではない証明だ、と叫び続けなく てはならないブルバキ的数学者には、これは悪夢でしかない。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/483

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