[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 二十三問目 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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286: 2 2017/06/28(水)03:07 ID:kZFA1c1J(5/6) AAS
ネットでの日本語解答はこれが初めてかもしれない。
数オリ財団発行の本に載っているものを参考にして作成した。
やはりムズい。
この問題を「マスターデーモン」として紹介している『数学オリンピック事典』では「n=3または(3^2)|nであるが、(n^2)|(2^n+1)ならば3^2はnを割りきらない」という流れを採用している。
このサイト
外部ﾘﾝｸ[html]:www.cs.cornell.edu
では、与式の分子を(3-1)^n+1として二項定理を用いているようだ。
出典：IMO1990-3
287(1): 2017/06/28(水)03:10 ID:dHEIGm6p(1) AAS
>>281
正解です。ちなみに一意性はなく、n≧2のとき
(1) a[k]=2k^2 (1≦k≦n-1), a[n]=2n-1
や
(2) a[k]=F[2k+1] (1≦k≦n-1), a[n]=F[2n]
ただし、F[n]はフィボナッチ数列 (F[1]=F[2]=1)
などでも表せます。
288(1): 2017/06/28(水)03:15 ID:kZFA1c1J(6/6) AAS
おまけ（ぶっちゃけ簡単）
素数p,qを用いてp^q+q^pの形で表される素数を求めよ。
289(1): 2017/06/28(水)03:32 ID:wm3Df9X3(2/2) AAS
17
p,qがともに奇素数かともに2なら、p^q+q^pは2より大きい偶数となり、不適
よって、p,qの片方が2
pが奇数で3で割り切れない場合は、p^2+2^pは3より大きい3の倍数となり、不適
よって、p=3
290: 288 2017/06/28(水)07:47 ID:UWqYj2FJ(1) AAS
>>289
正解
p^q+q^p≧2^2+2^2=8
p,qの偶奇が一致する場合はp^q+q^pは偶数になり、素数になることはない。
よって、p,qは偶素数2と奇素数。
対称性よりp=2、qを奇素数としてよい。
q=3でp^q+q^p=2^3+3^2=17は素数
以下、3を法として
q≧5で、qは素数だからq≡1,2だが
q≡1で2^q+q^2≡(-1)^q+1^2≡-1+1≡0
省5
291(1): 2017/06/28(水)07:59 ID:w1G4n4lh(1) AAS
>>268
2重積分にすると
z: 0→1
f=x-y： √2→0
f=(1-z)√2
S=∫[0,1](1-z)√2dz=1/√2
L=∫[0,1]zf(z)/Sdz
=√2∫[0,1]z(1-z)√2dz
L'=∫[0,1]xyf(x)f(y)/S^2dxdy
=4∫∫√(x^2+y^2)(1-x)(1-y)dxdy
省1
292: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/28(水)18:24 ID:A63zUC8I(1/10) AAS
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293: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/28(水)18:24 ID:A63zUC8I(2/10) AAS
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294: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/28(水)18:25 ID:A63zUC8I(3/10) AAS
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295: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/28(水)18:25 ID:A63zUC8I(4/10) AAS
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296: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/28(水)18:25 ID:A63zUC8I(5/10) AAS
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297: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/28(水)18:26 ID:A63zUC8I(6/10) AAS
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298: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/28(水)18:26 ID:A63zUC8I(7/10) AAS
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299: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/28(水)18:26 ID:A63zUC8I(8/10) AAS
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300: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/28(水)18:27 ID:A63zUC8I(9/10) AAS
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301: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/28(水)18:27 ID:A63zUC8I(10/10) AAS
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302(3): 2017/06/28(水)21:55 ID:xEqrn1lZ(1) AAS
x,yに関する不定方程式
x^2-dy^2=1 （dは平方数でない自然数）
は「ぺル方程式」とよばれ、無限個の自然数解を持つことが知られている。
問1
j+1と2jが共に平方数になるような自然数jが無限に存在することを示せ。
また、最小の自然数解を(X,Y)とすると、全ての自然数解(x_n,y_n)は
x_1=X, y_1=Y
x_(n+1) = (x_n)(x_1) + d(y_n)(y_1)
y_(n+1) = (x_n)(y_1)+(y_n)(x_1)
で表せることが知られている。
省2
303: 2017/06/29(木)00:15 ID:RAHEABOx(1) AAS
>>291 訂正
L=∫[0,1]zf(z)/Sdz
=√2∫[0,1]z(1-z)√2dz=1/3
L'=∫[0,1]√(x^2+y^2)f(x)f(y)/S^2dxdy
=4∫∫√(x^2+y^2)(1-x)(1-y)dxdy
=(2+√2+5log(1+√2))/15
304(1): 2017/06/29(木)10:43 ID:n9pcFtpp(1/2) AAS
j+1=x^2,2j=y^2からjを消去してy^2=2(x^2-1)。
x,yが整数ならyが遇数となるから、y=2zと置いて
4z^2=2(x^2-1)すなわちx^2-2z^2=1。ペル方程式の解は(ry
n(n+1)/2=m^2の解を探す。両辺を8倍して1足すと
(2n+1)^2=8m^2+1。ペル方程式の解は(ry
305(1): 2017/06/29(木)10:58 ID:mYQxtRdG(1) AAS
>>304
問2の答えが不十分
2n+1が無限に存在してもnは…
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