[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 二十三問目 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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299: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/28(水)18:26 ID:A63zUC8I(8/10) AAS
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300: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/28(水)18:27 ID:A63zUC8I(9/10) AAS
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301: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/28(水)18:27 ID:A63zUC8I(10/10) AAS
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302(3): 2017/06/28(水)21:55 ID:xEqrn1lZ(1) AAS
x,yに関する不定方程式
x^2-dy^2=1 （dは平方数でない自然数）
は「ぺル方程式」とよばれ、無限個の自然数解を持つことが知られている。
問1
j+1と2jが共に平方数になるような自然数jが無限に存在することを示せ。
また、最小の自然数解を(X,Y)とすると、全ての自然数解(x_n,y_n)は
x_1=X, y_1=Y
x_(n+1) = (x_n)(x_1) + d(y_n)(y_1)
y_(n+1) = (x_n)(y_1)+(y_n)(x_1)
で表せることが知られている。
省2
303: 2017/06/29(木)00:15 ID:RAHEABOx(1) AAS
>>291 訂正
L=∫[0,1]zf(z)/Sdz
=√2∫[0,1]z(1-z)√2dz=1/3
L'=∫[0,1]√(x^2+y^2)f(x)f(y)/S^2dxdy
=4∫∫√(x^2+y^2)(1-x)(1-y)dxdy
=(2+√2+5log(1+√2))/15
304(1): 2017/06/29(木)10:43 ID:n9pcFtpp(1/2) AAS
j+1=x^2,2j=y^2からjを消去してy^2=2(x^2-1)。
x,yが整数ならyが遇数となるから、y=2zと置いて
4z^2=2(x^2-1)すなわちx^2-2z^2=1。ペル方程式の解は(ry
n(n+1)/2=m^2の解を探す。両辺を8倍して1足すと
(2n+1)^2=8m^2+1。ペル方程式の解は(ry
305(1): 2017/06/29(木)10:58 ID:mYQxtRdG(1) AAS
>>304
問2の答えが不十分
2n+1が無限に存在してもnは…
306: 2017/06/29(木)11:51 ID:n9pcFtpp(2/2) AAS
えーっと、p^2-2q^2=1の最小解は(p,q)=(3,2)でよかったかな。
x+y√2=(3+2√2)^nは全てのnについてx奇y偶。
307: 2017/06/29(木)12:10 ID:W3RXb80R(1/3) AAS
>>305
xx-2yy=1 ならば xは奇数、yは偶数。
(略証)
xx=2yy+1=奇数。
2yy=xx-1=(x+1)(x-1)は8の倍数
∴ yは偶数。
308: 2017/06/29(木)12:39 ID:W3RXb80R(2/3) AAS
>>287
arctan(1/a) = arctan((b-a)/(ab+1)) + arctan(1/b),
(1) a = 2n-1、b = 2n+1,
(2) a = F_(2n)、b = F_(2n+2)、F_(m-1) F_(m+1) - (F_m)^2 = (-1)^m
309(2): 2017/06/29(木)13:13 ID:W3RXb80R(3/3) AAS
〔問題〕
実数a〜dについて次を示せ。
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ab+bc+cd)^2,
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ad-bc)^2,
不等式スレ８-042
310: 302 2017/06/29(木)14:51 ID:pDFeYatX(1/3) AAS
解答
問1
jが奇数ならば2jは素因数に2を一つしか持たず、平方数になることはない。
よって、2jが平方数になるときjは偶数で、j=2k^2とおける。
j+1=2k^2+1が平方数になるとき2k^2+1=l^2とおける。
l^2-2k^2=1
自然数解(l,k)は無限個存在し、
（明らかに自然数解kは無限個存在するから、）
題意を満たす自然数j=2k^2も無限個存在する。
問2
省15
311: 302 2017/06/29(木)15:11 ID:pDFeYatX(2/3) AAS
ちなみに漸化式を解いて一般項を求めると
l_n=A_n=(1/2)((3+2√2)^n+(3-2√2)^n)
k_n=B_n=((√2)/4)((3+2√2)^n-(3-2√2)^n)
j_n=(1/8)((3+2√2)^(2n)+(3-2√2)^(2n)-2)
a_n=(1/4)((3+2√2)^n+(3-2√2)^n-2)
b_n=((√2)/8)((3+2√2)^n-(3-2√2)^n)
312: 2017/06/29(木)15:29 ID:CIUnyKfJ(1) AAS
冗長
313: 302 2017/06/29(木)15:50 ID:pDFeYatX(3/3) AAS
2を掛け忘れていた
j_n
=(1/4)((3+2√2)^(2n)+(3-2√2)^(2n)-2)
=(1/4)((17+12√2)^n+(17-12√2)^n-2)
j_1=8 j+1=9=3^2, 2j=16=4^2
j_2=288 j+1=289=17^2, 2j=576=24^2
j_3=9800 j+1=9801=99^2, 2j=19600=140^2
314: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/30(金)01:37 ID:UUAvZ6vl(1/22) AAS
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315: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/30(金)01:37 ID:UUAvZ6vl(2/22) AAS
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316: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/30(金)01:37 ID:UUAvZ6vl(3/22) AAS
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317: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/30(金)01:38 ID:UUAvZ6vl(4/22) AAS
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318: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/30(金)01:38 ID:UUAvZ6vl(5/22) AAS
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