[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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228: 2017/07/21(金)12:59 ID:aIensghT(3/4) AAS
>>227
>>225 のようにバラバラに砕いたのは、「エレガントなカラクリ」を知らぬが故でござる。（最終兵器）
ご存知なれば、伝授願いたいぐらい。
14.
[初代スレ.497-502] のことでござるか？
されば n/3 に改良する習わし也。
(補題)
a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1.
229(1): 2017/07/21(金)13:32 ID:aIensghT(4/4) AAS
>>227 （続き）
14. Shapiro
[初代スレ.497-502]
[第2章.284-285]
[第3章.172-173, 218-220]
[第4章.463-470]
n≦6の解法
[第2章.889-890]
[第8章.170-172]
230(2): 2017/07/21(金)20:28 ID:hHnI1U1h(2/3) AAS
作ってみたけど、簡単な証明あるかな？ ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
a,b,c>0 に対して、{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ 3(a+b+c)/2
231: 2017/07/21(金)20:29 ID:hHnI1U1h(3/3) AAS
>>229
さんくす。過去スレは宝箱ですなあ。
232(2): 2017/07/22(土)15:48 ID:G0nvuSlz(1/2) AAS
>>230
(解1)
a+b+c=s とおく。
f(X) = X/√(s-X）= s/√(s-X) - √(s-X）
は下に凸ゆえ Jensen で
f(a）+ f(b）+ f(c）≧ 3f(s/3）= √(3s/2),
(解2)
x=b+c, y=c+a, z=a+b とおく。
a/√(b+c）=（y+z-x)/(2√x）≧｛2√(yz) -x}/(2√x),
したがって、
省10
233(1): 2017/07/22(土)16:03 ID:G0nvuSlz(2/2) AAS
さて、本題に戻って…
(a+b+c)^5 ≧（ab+bc+ca）｛27(K+1)(aab+bbc+cca) -81K･abc｝
とおいて、A^i の係数を求めます。 >>225
A^3 の係数から
K ≦ 1/3,
A^2 の係数から
K ≦ 0.182688493788
（等号成立は y/z = 1.52984518）
省12
234(2): 2017/07/23(日)09:39 ID:p7xlQ3BC(1/2) AAS
>>232
さすがなり。 >>230の元になった問題は以下。
外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
a,b,c>0、a+b+c+abc=4 に対して、
(ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(4-abc)^3
条件 a+b+c+abc=4 は、右辺を難しそうに見せるだけのノイズと見て削除して、
a,b,c>0 に対して、
(ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(a+b+c)^3
これは一般化されたヘルダーの不等式から出てくるが、他に易しい証明ないかな？
この右辺を弄って >>230 を得る。
235(1): 2017/07/23(日)09:50 ID:p7xlQ3BC(2/2) AAS
>>234
> a,b,c>0 に対して、
> (ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(a+b+c)^3
>
> これは一般化されたヘルダーの不等式から出てくるが、
について、蛇足。
{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}^(1/3)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^(2/3) ≧ a+b+c
236: 2017/07/23(日)10:08 ID:yTyAIG7a(1/3) AAS
>>225 >>233
参考のため残しておきまつ。
(a+b+c)^5 -（ab+bc+ca){27(1+K)(aab+bbc+cca）- 81K･abc｝における
A^3 の係数：
(1-3K)(yy-yz+zz),
A^2 の係数：
(4-6K)yyy -（6+9K)yyz + 3yzz +（4-6K),
A^1 の係数：
5y^4 -（7+27K)y^3･z -（6+9K)yyzz + (11-9K)yz^3 + 5z^4,
省5
237: 2017/07/23(日)11:15 ID:yTyAIG7a(2/3) AAS
>>234-235
コーシーで一発でしたか... 参ったでござる。
238(1): 2017/07/23(日)19:25 ID:yTyAIG7a(3/3) AAS
>>184 >>201 >>214 を改造...
a+b+c = s、ab+bc+ca = t とおく。
{(a+c)s}^2 - 4(aa+ac+cc)t = (aa+ac+cc - t)^2 = δ
ss - 3t =｛(a-c)^2･t + δ}/(a+c)^2 ≧ t|(a-c)/(a+c)|^2,
239(1): 2017/07/24(月)10:30 ID:mq+pfYuQ(1/8) AAS
>>232
> *）｛√(yz）-x}/√x +｛√(zx）-y}/√y +｛√(xy）-z}/√z
｛2√(yz）-x}/2√x +｛2√(zx）-y}/2√y +｛2√(xy）-z}/2√z を計算しないといけないのでは？
240(2): 2017/07/24(月)13:11 ID:mq+pfYuQ(2/8) AAS
0 ≦ x ≦ π/2 に対して、2^{(sin x)*(cos x)} ≦ sinx + cos x ≦ sqrt(2)
241(1): 2017/07/24(月)14:26 ID:mq+pfYuQ(3/8) AAS
>>240 をプチ改造。
> 0 ≦ x ≦ π/2 に対して、2*sqrt{(sin x)*(cos x)} ≦ 2^{(sin x)*(cos x)} ≦ sinx + cos x ≦ sqrt(2)
242: 2017/07/24(月)15:01 ID:qItz5GdJ(1/2) AAS
>>238
（大意）
ss/t の値は、a,b,c が似たり寄ったりのときは3よりチョト大きいだけだが、
a,b,c が極端に違うときは（2変数値の）4に近いよ。
>>239
略しすぎた…
{2√(yz) -x}/(2√x） = ｛√(yz)}/(2√x） + ｛√(yz) - x}/(2√x),
のように分けたのでござる。
後ろの項は 巡回和すれば ≧0 でござる。(*)
ついでながら（**）の方も 1/2 が抜けてますな。トホホ
243(1): 2017/07/24(月)15:54 ID:qItz5GdJ(2/2) AAS
>>240-241
t = 2sin(x)cos(x）とおくと、0≦t≦1
一方、f(t）= 2^t は下に凸で f(0)=1, f(1)=2, f(2)=4 を通る。
0≦t≦1 では
（t=1、t=2 の割線）より上で、（t=0、t=1 の割線）より下。
∴ 2t ≦ f(t) ≦ 1 + t ≦ 2,
4sin(x)cos(x）≦ 2^{2sin(x)cos(x)｝≦ 1 + 2sin(x)cos(x）≦ 2,
各辺≧0 ゆえ平方根をとる。
244: 2017/07/24(月)16:08 ID:mq+pfYuQ(4/8) AAS
>>243
実にエレガント！
元ネタは [数蝉NOTE (2005.08締切分)]
x, y≧0 かつ x^2 + y^2=1 のとき、2^(xy) ≦ x+y ≦ sqrt(2).
まず、0 ≦ (x-y)^2 = 1-2xy より、0 ≦ xy ≦ 1/2 だから、
右 ： (x+y)^2 = 1+2xy ≦ 2.
左 ： (x+y)^{1/(xy)} = (1+2xy)^{1/(2xy)} ≧ 1 + 2xy*{1/(2xy)} = 2.
ベルヌーイの不等式を用いて、鶏を割くに焉んぞ牛刀を用いん…。
245: 2017/07/24(月)16:37 ID:mq+pfYuQ(5/8) AAS
まぁ、いろんな証明方法が身につくから褒め言葉なんですがね → 牛刀。
246(1): 2017/07/24(月)16:38 ID:dN93W7ZJ(1) AAS
夏休みだから賑わってるのかな？
247: 2017/07/24(月)16:49 ID:mq+pfYuQ(6/8) AAS
>>246
君も混ざれ！
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