[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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728(3): 2017/08/29(火)09:12 ID:QmBHjFut(7/10) AAS
【問題】
xyz座標平面において、次の不等式で表される立体の体積を求めよ。
|x＋y+z| + |-x+y+z| + |x-y+z| + |x+y-z| ≦ 4
検索中に、どこかで見たことのある問題を見つけた。
しばらく検索したものの、出典は分からず…。
コレクションに入っているかと探したが、そこにもなかった。
これが、どんな立体図形になるのかも分かりませぬ ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
729(1): 2017/08/29(火)09:27 ID:QmBHjFut(8/10) AAS
>>679 (1) について
問題再掲
a, b, c >0、abc=1 に対して、(a+b)(b+c)(c+a) + 7 ≧ 5(a+b+c).
解答
>>704、>>706
うますぎて、思いつきませぬ。
以下のような泥臭い方法で考えていたんだけど、行き詰まったでござる。
左辺 - 右辺 の最小値を考える。
abc=1 があるので、実質２文字の関数で、一方を任意に固定して、一変数関数で考えて出せないかと。
730: 2017/08/29(火)10:12 ID:PqzL+0/+(1) AAS
>>728
立方八面体
外部ﾘﾝｸ:imgur.com
731(1): 2017/08/29(火)11:45 ID:1JAWO9sa(2/3) AAS
>>728
｜a+b｜+｜a-b｜= 2 Max{|a|，|b|｝を使うと、
(左辺）= Max{4|x|，4|y|，4|z|，2|x+y+z|，2|-x+y+z|，2|x-y+z|，2|x+y-z|}
｜x｜≦1
｜y｜≦1
｜z｜≦1
｜x+y+z｜≦2
｜-x+y+z｜≦2
｜x-y+z｜≦2
｜x+y-z｜≦2
省6
732(2): 2017/08/29(火)14:01 ID:1JAWO9sa(3/3) AAS
>>726 >>727
等号成立は（x､y､z）=λ(1,4,4） and cyclic shift
という所がミソ
733(2): 2017/08/29(火)17:18 ID:QmBHjFut(9/10) AAS
>>731
> t^3 -4stu +9uu ≧ 0, >>706
> s = a+b+c ≦ (t^3 +9uu)/4tu
> u = abc = 1
> を使って sとu を消し、t=ab+bc+ca だけの関数で考えて出したのが >>704
なるほど。 u=1 だから、s か t のどちらかを消せばよいと。
そこで s を消すために、sを含む s, t, u の不等式の中から、s≦f(t) となりそうなものとして F_1 を選んだ訳でござるな。
考え方が分かってスッキリ！
するってぇと何かい？ t^2 ≧ 3su を使ってもいいってことだね？
s ≦ (t^2)/(3u) = (t^2)/3 より、3≦t≦5 のとき、
省5
734: 2017/08/29(火)17:34 ID:QmBHjFut(10/10) AAS
>>733
-3 ≦ t^2-2t-6 ≦ 9 の間違いですた
735: 2017/08/30(水)01:43 ID:BK+APDDw(1/2) AAS
>>733
F_1 じゃなきゃダメですね…。
マクラーレン・ホンダ：F_1ベルギーGPの決勝レポート（8/28）
マクラーレンはF_1ベルギーGP決勝で、S．バンドーンが14位、Ｆ．アロンソはリタイアだった。
両ドライバーは見事なスタートを切り、Ｆ．アロンソは1周目には10番手から7番手に浮上。
しかし、その後エンジンの不調が発生したためリタイアし、入賞を逃しますた。残念
736(1): 2017/08/30(水)02:37 ID:4Q4sm7+y(1/7) AAS
AA省
737(1): 2017/08/30(水)08:12 ID:4Q4sm7+y(2/7) AAS
>>677
(3)をプチ改造。
a, b, c >0、abc=1 に対して、2/(ab+bc+ca) + 1/3 ≧ 3/(a+b+c).
738: 2017/08/30(水)08:19 ID:4Q4sm7+y(3/7) AAS
>>722
成り立たなかった…。(a,b,c) = (1,1,2), (1,1,1), (1,1,1/2)
739(2): 2017/08/30(水)08:34 ID:4Q4sm7+y(4/7) AAS
>>732
AM-GM や Schur で証明できた場合は、等号成立条件が a=b=c になってしまうから、
証明の中で、それ以外の特殊な不等式が必要になるってことですかね？
740: 2017/08/30(水)11:56 ID:BK+APDDw(2/2) AAS
>>737
(a,b,c) →（1/a,1/b,1/c）としたでござるな。
a+b+c → （ab+bc+ca)/abc,
ab+bc+ca → （a+b+c)/abc,
abc → 1/abc,
>>703 の（s,t）を入れ換えて
F_1(a,b,c）= s^3 -4st +9u ≧0,
t ≦（s^3 +9u)/4s,
これを使えば おk >>707
>>739
省2
741(1): 2017/08/30(水)17:00 ID:4Q4sm7+y(5/7) AAS
>>736
難しいので、劣化改造してみた。こちらは力任せに証明できる。
a, b>0 かつ ab=1 のとき、1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 2/{(1+a)(1+b)} ≧1.
742: 2017/08/30(水)17:18 ID:4Q4sm7+y(6/7) AAS
ところで、AM + GM に関する不等式って何かあったっけ？ Jacobsthal は差だし、Sierpinskiは商か。
743: 2017/08/30(水)17:24 ID:4Q4sm7+y(7/7) AAS
>>741
この劣化版って、等式だった…
744(2): 2017/08/31(木)00:00 ID:iQe17wVf(1/7) AAS
>>679
(4)をプチ改造。Nesbittの間に割り込んだ形ですね。
a, b, c >0、abc=1 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≧ 3/2
745: 2017/08/31(木)00:14 ID:iQe17wVf(2/7) AAS
>>744
左は(4)を変形しただけ。
右は間違っているかもしれん。
Cauchyの後にAM-GMを使ったんだけど、AM-GMの不等号が逆で、証明になっていなかった。
746: 2017/08/31(木)00:17 ID:iQe17wVf(3/7) AAS
結局、こうですね。
a, b, c >0、abc=1 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) > 0
747: 2017/08/31(木)02:42 ID:iQe17wVf(4/7) AAS
これでOK？
λを正定数、a, b>0 かつ ab=1 のとき、
1 + λ/4 ≧ 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + (2+λ)/{(1+a)(1+b)} ≧1.
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